ماتریس پوچ توان
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 4 / 5
تعریف ماتریس پوچ توان: فرض کنید A یک ماتریس \(n\times n \) باشد. ماتریس A را پوچ توان گویند، هرگاه عبارت زیر برقرار باشد:
\(\exists k\in \mathbb{N}, A^k=0 , A^{k-1} \neq 0\)
عبارت ریاضی بالا بیان می‌کند که k کوچکترین عدد طبیعی است که به ازای آن ماتریس A به توان آن عدد مساوی ماتریس صفر خواهد شد. در اینصورت ماتریس A را پوچ توان از مرتبه k گویند.
تذکر ۱. دقت کنید در صورتی که ماتریس A پوچ توان باشد، همواره اندیس ماتریس پوچ توان کمتر از تعداد سطرها یا ستون‌های ماتریس خواهد بود. یعنی برای ماتریس \(n\times n\) که از مرتبه k پوچ توان است، داریم: \( k \leq n \).
مثال ۱. آیا ماتریسهای زیر ماتریسی پوچ توان است؟
۱. \(A=\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
با توحه به تعریف ماتریس پوچ توان، کافی است که ماتریس A را در خودش آنقدر ضرب کنیم که برای اولین بار، نتیجه این حاصلضرب‌ها صفر شود. برای این منظور به صورت زیر عمل می‌کنیم:
\(A*A= \begin{bmatrix} 0 &2\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&2 \\0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\)
در نتیجه این ماتریس، ماتریس پوچ توان از مرتبه ۲ خواهد شد.
۲. \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0&2\\0&0&3\\0&0&0\\ \end{bmatrix}\)
برای اینکه نشان دهیم این ماتریس، ماتریسی پوچ توان است یا خیر. کافی است به گونه‌ای که برای ماتریس بالا اقدام نمودیم عمل کنیم. حال ماتریس A را در خودش ضرب کنید:
\(A*A=\begin{bmatrix} 0&0&3\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0&3\\0&0&2\\0&0&0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 &0&0 \\ 0&0&0 \\0&0&0\\ \end{bmatrix}\)
در نتیجه این ماتریس هم پوچ توان از مرتبه 2 خواهد شد.
تمرین ۱. کدامیک از ماتریسهای زیر پوچ توان است.
۱. \(A=\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\\ \end{bmatrix}\)
۲. \(A=\begin{bmatrix}0&-3&2\\0&0&6\\0&0&4\\ \end{bmatrix}\)
۳. \(A=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\5&3&0&0\\8&6&5&0\\ \end{bmatrix}\)
