مقدمه ای بر مبانی تفکر ریاضی
رای دهی: 5 / 5
در رشته ریاضی دانشگاهی، درسی به نام «مبانی ریاضی» وجود دارد که همه دانشجویان رشته ریاضی باید این درس را در ترم اول یا دوم تحصیلی خود، بگذرانند. اين درس به بیان پايه‌ها و اصول رياضی می‌پردازد. ناديده گرفتن دانش قبلی نسبت به رياضيات از ضروریات ورود به اين درس است. لذا اولين مبحث در اين درس آشنایی با «منطق رياضی» يا همان «منطق دو ارزشی» است. در اين مبحث هر جمله (گزاره) با دو ارزش «درست» يا «نادرست» سنجيده می‌شود و با ترکيب جملات (گزاره های) اوليه با عملگرهای منطقی مانند «و»، «يا»، «آنگاه» و ... جملات پيچيده‌تری به دست می‌آيد. ارزش درستی يا نادرستی اين جملات پيچيده‌تر با استفاده از ارزش جملات اوليه آن بدست می‌آيد. اين موضوعات تحت عنوان «حساب گزاره‌ها» شناخته می‌شود.
در ادامه درس مبانی رياضیات وارد موضوعی به نام «حساب محمولات» می شويم. در اين بخش موضوعی به نام «محمول» وارد منطق رياضی می‌شود. مثلاً وقتی می گوييم «زيد، عمروا را زد» يک محمول به کار برده‌ايم که زيد و عمروا متغيرهای نمادين آن هستند. می‌توانيم اين متغيرها را به شکل ديگری نشان دهيم و بنويسيم «x ، y را زد.». اين جمله تا زمانی که به جای x و y موجوديت‌های واقعی را جايگزين نکنيم قابل ارزش‌گذاری نيست. اما همين که جايگزينی‌های لازم انجام شود می‌توان ارزش گزاره حاصل را بررسی کرد. برای آن که شکل عام‌تری برای محمول داشته باشيم و فقط به زد و خورد محدود نشويم، اجازه دهيد به جای «x، y را زد» از نماد «P(x,y)» استفاده کنيم.
محمول‌ها همانند آجرهای ساختمانی برای منطق رياضی را عمل می‌کنند. محمول‌ها با کمک سورهای عمومی و وجودی جملات و گزاره‌های جديدی را ايجاد می‌کنند که به مفاهيم آن تنوع می‌بخشد. مثلاً اگر بخواهيم بگوييم «Adolf همه را زده است.» می‌نويسيم:
∀y P(Adolf,y)
يا بخواهيم بگوييم «کسی حسن را زده است.» می نويسيم:
∃x P(x,Hassan)
با ترکيب محمول‌ها، سورها و عملگرهای منطقی جملات پيچيده‌تری بدست می‌آيد. تعيين ارزش جملات حساب محمولات پيچيده تر از حساب گزاره‌ها است.
زمانی که وارد اين موضوع درس شدم دنبال روش می‌گشتم که ارزش اين گزاره‌ها را با استفاده از يک برنامه کامپيوتری محاسبه کنم. اين کار به آسانی حساب گزاره‌ها نبود۱ و هيچ ايده‌ی مناسبی برای اين کار نيافتم. به سراغ استاد درس رفتم و کارهای قبلی و عجز خود را مطرح کردم و از او کمک خواستم. پاسخ او برايم شگفت آور بود: «ثابت شده است که نمی‌توان الگوريتمی طراحی کرد که بتواند ارزش تمام گزارهای حساب محمولات را مشخص کند.»
با بزرگترين چالش فکری خود مواجه شده بودم و سوالات بی پاسخ زيادی پيش رویم قرار گرفته بود:
چرا نمی‌شود چنين الگوريتمی را طراحی کرد؟
پس رياضيدنان چگونه ارزش گزاره‌های رياضی را بدست می‌آورند؟
چگونه می‌توان «ثابت کرد» که نمی‌توان الگوريتمی را طراحی کرد؟
و ....
در ادامه بحث به دنبال جواب هایی برای اینگونه سوالات خواهیم بود. با ما همراه باشید....
۱. برای حساب گزاره‌ها برنامه‌ای نوشته بودم که ارزش گزاره‌های ترکيبی را بر اساس ارزش اجزای تشکيل دهند آن محاسبه می کرد.
