معادله لاگرانژ: دسته سوم معادلات خطی شدنی
رای دهی: 5 / 5
به نام خدا
الهم صل علی محمد و آل محمد
معادله لاگرانژ
هر معادله ديفرانسيل به صورت
يک معادله‌ي لاگرانژ ناميده مي شود.
براي حل معادلات لاگرانژ ، از تغيير متغير 
استفاده مي کنيم. بنابراين
معادله ي لاگرانژ است.
در حالت خاصي که 
باشد، معادله ي لاگرانژ به معادله ي کلرو تبديل مي شود.
چگونگي حل يک معادله ي لاگرانژ :
با فرض اينکه 
موجود باشد ، از معادله ي 
نسبت به x مشتق مي گيريم :
براي معادله ي 
دو حالت زير را در نظر مي گيريم :
حالت اول : به ازاي مقادير ِ ثابتي از p ، معادله ي 
صفر است . مثلا ً اگر
، آنگاه 
و در اين صورت 
. پس دو طرف تساوي صفر است.
براي به دست آوردن جواب متناظر ، را در معادله ي قرار مي دهيم :
که اين معادله ، يک خط راست خواهد بود و جواب غير عادي معادله ي است زيرا جواب عمومي آن در حالت دوم به دست مي آيد.
حالت دوم : در اين حالت فرض کنيم 
. بنابراين معادله ي به صورت زير خواهد شد :
با دقت در معادله ي 
در مي يابيم يک معادله ي خطي است که در آن x تابعي از p است. با حل معادله ي ، تابعي مانند 
به دست مي آيد که آن را در معادله ي قرار داده و تابع y را بر حسب x به دست مي آوريم. تابع به دست آمده جواب عمومي معادله ي لاگرانژ خواهد بود.
به مثال زير دقت کنيد تا معادله ي لاگرانژ را بهتر درک کنيد و عملا ً با چگونگي حل يک معادله ي لاگرانژ آشنا شويد.
مثال 22.2 : معادله ي لاگرانژ 
را حل کنيد .
حل : قرار مي دهيم 
و از معادله نسبت به x مشتق مي گيريم :
اکنون دو حالت داريم :
حالت اول: 
. پس p=1 و y = x + 1 جواب غير عادي معادله است.
حالت دوم: 
. پس :
معادله ي 
يک معادله ي خطي مرتبه ي اول است . عامل انتگرال ساز را يافته و جواب عمومي را مي يابيم :
که 
.
اکنون با توجه به تساوي هاي 
و 
، جواب عمومي معادله ي اصلي به صورت زير خواهد بود :
