معادلات دیفرانسیل مرتبه اول شدنی: بخش اول
رای دهی: 5 / 5
به نام خدا
الهم صل علی محمد و آل محمد
تاکنون معادلات مرتبه اول را شناخته ايم و روش هايي براي حا اين گونه معادلات مي شناسيم. اکنون مي خواهيم معادلاتي را معرفي کنيم که از مرتبه ي اول نيستند ولي با تغيير متغير هاي مناسب به معادلات مرتبه ي اول تبديل مي شوند. اين گونه معادلات را معادلات مرتبه اول شدني مي ناميم.
از ميان معادلات مرتبه اول شدني ، دو دسته ي خاص را مورد بررسي قرار مي دهيم. توجه کنيد :
دسته ي اول: معادله ي مرتبه n زير را در نظر بگيريد :
در اين معادله ، متغير وابسته يعني y ، ديده نمي شود و دو مشتق متوالي ِ آن در ضابطه ي معادله وجود دارند. براي تبديل ِ اين معادله به معادله ي مرتبه ي اول ، از تغيير متغير 
استفاده مي کنيم . با اين انتخاب ، 
خواهد شد و با جايگزيني در معادله ي 
، معادله ديفرانسيل مرتبه اول ِ
به دست خواهد آمد .
اکنون با توجه به اين که معادله ي 
از کدام نوع ِ معادلات مرتبه اول است ، به حل آن پرداخته و سرانجام تغيير متغير را برگردانده و با انتگرال گيري نسبت به x ، به جواب عمومي معادله ي مي رسيم.
مثال ها را دنبال کنيد تا مفهوم جملات بالا را بهتر درک کنيد :
مثال 23.2 : جواب عمومي معادله ي 
را بيابيد.
حل : اين معادله ، يک معادله ي مرتبه دوم است که y در آن حضور ندارد. با انتخاب ِ تغيير متغير 
خواهيم داشت :
و معادله ي داده شده به معادله ي
تبديل مي شود. اکنون اين معادله را حل مي کنيم :
پس اين معادله يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن اين گونه است :
اکنون قرار مي دهيم :
اکنون با انتگرال گيري نسبت به x خواهيم داشت :
اگر قرار دهيم 
آنگاه جواب عمومي معادله ي داده شده به صورت خلاصه ي زير خواهد بود :
مثال 24.2 : معادله ي زير را حل کنيد :
حل : تغيير متغير 
را انتخاب مي کنيم. پس 
و با جايگزاري در معادله ي 
خواهيم داشت :
اين معادله يک معادله ي خطي مرتبه اول است . عامل انتگرال ساز آن عبارت است از :
بنابراين داراي جواب عمومي زير است :
و با قرار دادن داريم :
اکنون با دو بار انتگرال گيري نسبت به x به جواب عمومي خواهيم رسيد:
