1. مفاهیم و قضایای زیر را به طور دقیق بیان و تعریف کنید.

الف) حاصلضرب مستقیم زیر گروه‌های H و K از گروه G.

پ) حلقه‌ی تقسیم (میدان اریب) .

ت) همریختی نشاندن.

ث) میدان کسرهای حوزه‌ی صحیح D .

2. نشان دهید در حوزه‌ی ایده‌آل اصلی R اگر ایده‌آل ناصفر P اول باشد ، آنگاه بیشین است.

3. درست و نادرست بودن گزاره‌های زیر را با ذکر دلیل بیان کنید.

الف) هر حوزه‌ی صحیح میدان است .

ب) هر میدان حوزه‌ای صحیح است .

پ) مشخصه‌ی Z برابر یک است.

ت) برای هر دو ایده‌آل I و J از حلقه‌ی جابجایی R داریم :

4. جایگشت به صورت زیر داده شده است.

الف) زوج و فرد بودن آن را تعیین کنید .

ب) را بیابید.

5. اگر P ایده‌آلی اول از حلقه‌ی R و حلقه‌ای منتاهی باشد، نشان دهید P ایده‌آلی بیشین است.

6. فرض کنید R حلقه‌ی جابجایی یکدار و I و J ایده‌آل هایی از آن باشند، نشان دهید I+J=R اگر و تنها اگر .