قضیه وجود و یکتایی تابع درونیاب
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
آيا چندجمله‌اي درون‌ياب لاگرانژ، تنها چندجمله‌اي درون‌ياب است؟ آيا روش ديگري براي درون‌يابي وجود ندارد؟ در صورتي که جواب مثبت است، اين روش‌ها کدام است؟ و ...
در ادامه مبحث آناليز عددي در ریاضیات ایران، به اين سؤالات و سؤالات مشابه، پاسخ خواهيم داد.
همان‌گونه که ديديم چندجمله‌اي درون‌ياب لاگرانژ، به ما نشان داد که براي نقاط مفروض 
که 
، يک چندجمله‌اي حداکثر از درجه‌ي n وجود دارد
که تابع f را در اين نقاط درون‌يابي کند. اين، قسمت وجودي قضيه‌ي زير را که قضيه وجود و يکتايي درون‌يابي است، اثبات مي‌کند. یعنی درونیابی وجود دارد. نشان می دهیم که چندجمله‌اي درونیاب، یکتاست.
قضيه وجود و يکتايي درون‌يابي: فرض کنيد نقاط متمايز 
و مقادير متناظرشان 
به ازاي داده شده باشند. در اين صورت يک و تنها يک تابع چندجمله‌اي مانند .png)
، حداکثر از درجه‌ي n، وجود دارد به طوري که به ازاي هر داريم:
=f(x_i).png)
.
اثبات: ما قسمت وجودي اين چندجمله‌اي را با معرفي چندجمله‌اي درون‌ياب لاگرانژ اثبات کرديم. اکنون ثابت مي‌کنيم اين درون‌يابي يکتاست.
فرض کنيد چندجمله‌اي ديگري مانند .png)
، حداکثر از درجه‌ي n، وجود داشته باشد که تابع f را در نقاط داده شده، درون‌يابي کند. يعني به ازاي هر i داشته باشيم:
=f(x_i).png)
در اين صورت قرار مي‌دهيم =PC(x)-QC(x).png)
. چون H جمع جبري دو چندجمله‌اي حداکثر از درجه‌ي nاست، پس خود H نيز چندجمله‌اي حداکثر از درجه‌ي n است. به ازاي هر داريم :
يعني .png)
داراي n+1 ريشه‌ي متمايز است و چون H حداکثر از درجه‌ي n بود، حداکثر مي‌تواند n ريشه داشته باشد، مگر اين که H در هر نقطه‌اي صفر باشد يا =0.png)
.
بنابراين =Q(x).png)
و اثبات کامل مي‌شود.♦
اين قضيه به ما اين اطمينان را مي‌دهد که اگر هر تعداد نقاط متمايز به همراه مقاديرشان از يک تابع، داده شده باشد، مي‌توان آن‌ها را با يک چندجمله‌اي يکتا حداکثر با درجه‌ي يکي کمتر از تعداد نقاط، درون‌يابي نمود.
دقت کنيد که ما همواره بر درجه‌ي چندجمله‌اي درون‌ياب، تأکيد داريم. اگر براي درجه‌ي چندجمله‌اي درون‌ياب چنين محدوديتي قرار ندهيم، در اين صورت يکتايي چندجمله‌اي درون‌ياب از بين مي‌رود. مثلاً اگر 
باشد، يعني فقط دو نقطه‌ي ).png)
و ).png)
را داشته باشيم و شرط محدوديت درجه چندجمله‌اي درون‌ياب را نداشته باشيم، آنگاه بي‌نهايت چندجمله‌اي درون‌ياب براي اين دو نقطه وجود خواهد داشت، اما اگر در اين حالت محدوديت اين که چندجمله‌اي درون‌ياب بايد حداکثر از درجه‌ي باشد را داشته باشيم، تنها يک چندجمله‌اي از درجه‌ي 1 بين دو نقطه داده شده وجود خواهد داشت. بنابراين براي اين‌که همواره منظور ما از درون‌يابي و چندجمله‌اي درون‌ياب، مشخص باشد، همواره درجه چندجمله‌اي درون‌ياب را يکي کمتر از تعداد نقاط در نظر مي‌گيريم. يعني اگر تعداد نقاط 5 نقطه باشد، چون انديس گذاري را از صفر شروع کرديم، پس 
را خواهيم داشت و همواره به دنبال چندجمله‌اي درون‌ياب درجه چهار خواهيم بود. مثال زير را ببينيد:
مثال 5: فرض کنيد نقاط .png)
و .png)
داده شده باشند، در اين صورت تعدادي از چندجمله‌اي‌هايي که از اين دو مي‌گذرند را بيابيد.
حل: اولين چندجمله‌اي که از اين دو نقطه مي‌گذرد، يک خط راست يا همان چندجمله‌اي درجه اول 
= .png)
است. چندجمله‌اي درجه دومي که از اين دو نقطه مي‌گذرد 
= است. چندجمله‌اي درجه سومي که از اين دو نقطه مي‌گذرد برابر با 
= مي‌باشد. چندجمله‌اي درجه چهاري که از اين دو نقطه مي‌گذرد برابر با 
= مي‌باشد و
نمودار اين چندجمله‌اي‌ها به صورت زير است:
اين مثال و تصوير بالا به خوبي نشان مي‌دهد که اگر براي چندجمله‌اي درون‌ياب، درجه‌ي خاصي در نظر نگيريم، ممکن است برداشت هاي متفاوتي از آن شود و هر شخص يکي از چندجمله‌اي‌هاي فوق را درنظر بگيرد.
حال چرا مي‌گوييم حداکثر از درجه‌ي n؟ زيرا ممکن است نقاط درون‌يابي به گونه‌اي باشد که بتوان براي آن نقاط، چندجمله‌اي با درجه کمتر از n نيز ارائه کرد. مثلاً براي سه نقطه‌ي ، 
و نمي‌توان چندجمله‌اي درجه دوم درون‌يابي نوشت. زيرا هيچ چندجمله‌اي درجه دومي که از اين سه نقطه بگذرد وجود ندارد. اما مي‌توان اين سه نقطه را با خط راست (چندجمله‌اي درجه اول) درون‌يابي کرد و درون‌ياب آن‌ها است.
آيا قضيه‌ي وجود و يکتايي به معني اين است که فقط چندجمله‌اي لاگرانژ براي درون‌يابي وجود دارد؟ جواب اين سؤال منفي است. اين قضيه مي‌گويد در صورتي که چندجمله‌اي ديگري نيز براي درون‌يابي به دست آوريد، اين چندجمله‌اي با چندجمله‌اي لاگرانژ برابر مي‌شود. چند جمله اي لاگرانژ از يک روش خاص به دست آمد. دانشمندان ديگري نيز براي به دست آوردن چندجمله‌اي درون‌ياب از روش‌هاي ديگر، تلاش‌هايي کرده‌اند و توانسته‌اند اين چندجمله‌اي را از روش‌هاي ديگري به دست آورند. ریاضیات ایران در ادامه شما را با اين روش‌ها آشنا مي‌کند، پس با ما همراه باشيد.
