ضرب داخلی

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ضرب داخلی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. یک ضرب داخلی روی فضای برداری \(V\)  تابعی به شکل زیر می‌باشد:

\(<. , .> : V \times V \rightarrow F\)

که در آن هر زوج مرتب \((u,v)\) در \( V \times V\) را به اسکالری در میدان \(F\) می‌نگارد و همچنین در ویژگی‌های زیر صدق می‌کند:

۱. به ازای هر \( v \in V\) بگیریم، داریم:

 \( <v,v>   \geq 0 \)

۲. اگر \(v \in V\) باشد، در اینصورت \(<v,v>=0\) اگر و تنها اگر \(v=0\) باشد.

۳. برای هر \(u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\( <u+v,w> = <u,w> + <v,w>\)

۴. برای هر \(u,v \in V\) و هر \(\alpha \in F\) می‌گیریم، داریم:

\(< \alpha u , v> = \alpha <u,v>\)

۵. برای هر \(u,v \in V\) می‌گیریم، داریم:

 \(<u , v> = \overline{<u , v>}\)


مثال ۱. فرض کنید \(V = \mathbb{R}^n\) باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی فضای برداری \( \mathbb{R}\) باشد:

\(<. , .> : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\)

\(<(w_1 , ... , w_n) , (v_1 , ... , v_n)> = w_1 \overline{v_1} +... + w_n \overline{v_n}\)

برای بررسی ضرب داخلی بودن تابع بالا، کافی است ۴ شرط ضرب داخلی را برای آن بررسی کنیم. لذا داریم:

۱. برای هر \( v \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<(w_1 , ... , w_n) , (w_1 , w_2 , ... , w_n)> = \sum_{i = 1}^n w_i \overline{w_i} = \sum_{i=1}^n w_i^2 \)

که مجموع اعداد مثبت، عددی مثبت است.

۲. برای هر \( u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<(u+v , w)> = <(u_1 + v_1 , ... , u_n + v_n) , (w_1 , ... , w_n)> = (u_1 +v_1) \overline{w_1} + ... + (u_n + v_n) \overline{w_n} = (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) + (v_1 \overline{w_1} + ... + v_n \overline{w_n}) = <u , w> + <v , w> \)

۳. برای هر \(u,v \in V\) و \( \lambda \in F\) می‌گیریم، داریم:

\(<\lambda v , w> = \lambda u_1 \overline{w_1} + ... + \lambda u_n \overline{w_n} = \lambda (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) = \lambda <v , w>\)

۴ .برای هر \(u,v \in V \) می‌گیریم، داریم:

\(<u , v> = u_1 \overline{v_1} + ... + u_n \overline{v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1} + ... + \overline{\overline{u_n} v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1 + ... \overline{u_n} v_n} = \overline{<u , v>}\)


تمرین ۱. فرض کنید که \(c_1 , ... c_n\) اعداد مثبت باشند. ثابت کنید که  تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی  فضای برداری \(F^n\) می‌باشد.

\(<. , .> = F^n \times F^n \longrightarrow F\)

\(<(w_1 , ... , w_n) , (z_1 , ... , z_n)> = C_1w_1 \overline{z_1} + ... + c_n w_n \overline{z_n}\)


تمرین ۲. فرض کنید که \(V\) فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی مقدار بر روی بازه \([1 , 1-]\) باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی  فضای برداری \(V\) می‌باشد.

\(<. , .>: V \times V \longrightarrow \mathbb{R}\)

\(<f,g> = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (255)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (163)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (224)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (237)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (310)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

گذشته ای که می آید و چهار داستان دیگر دکتر میرزاوزیری گذشته ای که می آید و چهار داستان دیگر دک... بازدید (1757)
گذشته ای که می آید و چهار داستان دیگر دک...
مقدمه و فهرست مطالب برنامه ریزی خطی بازارا ترجمه دکتر خرم مقدمه و فهرست مطالب برنامه ریزی خطی بازا... بازدید (9992)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب برنامه ریزی خطی...
جزوه آنالیز عددی پیشرفته دکتر مهدی دهقان دانشگاه امیرکبیر 88-89 جزوه آنالیز عددی پیشرفته دکتر مهدی دهقان... بازدید (10112)
جزوه دست نویس اسکن شده درس آنالیز عددی پ...
یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد اول دکتر میرزاوزیری یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد او... بازدید (1728)
فایل pdf کتاب یادگیری ریاضیات به عنوان ز...
کتاب سفر به شهر ریاضی دکتر میرزاوزیری کتاب سفر به شهر ریاضی دکتر میرزاوزیری... بازدید (1669)
کتاب سفر به شهر ریاضی دکتر میرزاوزیری...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (30887)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (23216)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (22281)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (20500)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (20217)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا