ضرب داخلی

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ضرب داخلی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. یک ضرب داخلی روی فضای برداری \(V\)  تابعی به شکل زیر می‌باشد:

\(<. , .> : V \times V \rightarrow F\)

که در آن هر زوج مرتب \((u,v)\) در \( V \times V\) را به اسکالری در میدان \(F\) می‌نگارد و همچنین در ویژگی‌های زیر صدق می‌کند:

۱. به ازای هر \( v \in V\) بگیریم، داریم:

 \( <v,v>   \geq 0 \)

۲. اگر \(v \in V\) باشد، در اینصورت \(<v,v>=0\) اگر و تنها اگر \(v=0\) باشد.

۳. برای هر \(u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\( <u+v,w> = <u,w> + <v,w>\)

۴. برای هر \(u,v \in V\) و هر \(\alpha \in F\) می‌گیریم، داریم:

\(< \alpha u , v> = \alpha <u,v>\)

۵. برای هر \(u,v \in V\) می‌گیریم، داریم:

 \(<u , v> = \overline{<u , v>}\)


مثال ۱. فرض کنید \(V = \mathbb{R}^n\) باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی فضای برداری \( \mathbb{R}\) باشد:

\(<. , .> : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\)

\(<(w_1 , ... , w_n) , (v_1 , ... , v_n)> = w_1 \overline{v_1} +... + w_n \overline{v_n}\)

برای بررسی ضرب داخلی بودن تابع بالا، کافی است ۴ شرط ضرب داخلی را برای آن بررسی کنیم. لذا داریم:

۱. برای هر \( v \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<(w_1 , ... , w_n) , (w_1 , w_2 , ... , w_n)> = \sum_{i = 1}^n w_i \overline{w_i} = \sum_{i=1}^n w_i^2 \)

که مجموع اعداد مثبت، عددی مثبت است.

۲. برای هر \( u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<(u+v , w)> = <(u_1 + v_1 , ... , u_n + v_n) , (w_1 , ... , w_n)> = (u_1 +v_1) \overline{w_1} + ... + (u_n + v_n) \overline{w_n} = (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) + (v_1 \overline{w_1} + ... + v_n \overline{w_n}) = <u , w> + <v , w> \)

۳. برای هر \(u,v \in V\) و \( \lambda \in F\) می‌گیریم، داریم:

\(<\lambda v , w> = \lambda u_1 \overline{w_1} + ... + \lambda u_n \overline{w_n} = \lambda (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) = \lambda <v , w>\)

۴ .برای هر \(u,v \in V \) می‌گیریم، داریم:

\(<u , v> = u_1 \overline{v_1} + ... + u_n \overline{v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1} + ... + \overline{\overline{u_n} v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1 + ... \overline{u_n} v_n} = \overline{<u , v>}\)


تمرین ۱. فرض کنید که \(c_1 , ... c_n\) اعداد مثبت باشند. ثابت کنید که  تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی  فضای برداری \(F^n\) می‌باشد.

\(<. , .> = F^n \times F^n \longrightarrow F\)

\(<(w_1 , ... , w_n) , (z_1 , ... , z_n)> = C_1w_1 \overline{z_1} + ... + c_n w_n \overline{z_n}\)


تمرین ۲. فرض کنید که \(V\) فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی مقدار بر روی بازه \([1 , 1-]\) باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی  فضای برداری \(V\) می‌باشد.

\(<. , .>: V \times V \longrightarrow \mathbb{R}\)

\(<f,g> = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی بازدید (190)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره بازدید (244)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (729)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (617)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (884)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...

فایل های تصادفی

پاسخ سوالات اصول کامپیوتر 2، برنامه سازی پیشرفته پیام نور ترم دوم 95-94 با برنامه اجرایی پاسخ سوالات اصول کامپیوتر 2، برنامه سازی... بازدید (8301)
پاسخنامه سوالات اصول کامپیوتر 2، برنامه ...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل چهارم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب... بازدید (1248)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، عمیدی آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، ع... بازدید (10390)
کتاب آنالیز مختلط و کاربردهای آن نوشته ر...
جزوه منطق ریاضی دکتر الوند دانشگاه آزاد بروجرد جزوه منطق ریاضی دکتر الوند دانشگاه آزاد ... بازدید (1014)
جزوه منطق ریاضی دکتر الوند دانشگاه آزاد ...
جزوه درس توپولوژی، صال مصلحیان، فردوسی مشهد، 95-1394 جزوه درس توپولوژی، صال مصلحیان، فردوسی م... بازدید (9603)
جزوه تخصصی درس توپولوژی استاد صال مصلحیا...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (28892)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22123)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (21151)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (19410)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (19050)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا