رای دهی: 5 / 5

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

به نام خدا

اللهم صل علی محمد و آل محمد

---

...« جورج فردیناند لودیگ فیلیپ کانتور »...

...« George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor »...

تولد : سوم مارس 1845 در پیترزبورگ (St Petersburg )؛ روسیه (Russia )

درگذشت : ششم ژانويه 1918 در هاله (Halle )؛ آلمان (Germany )

جورج والیدمر کانتور (Georg Waldemar Cantor)، پدر جورج کانتور، یک تاجر موفق بود که به عنوان یک عامل عمده فروش در پیترزبرگ و بعدها به عنوان یک دلال در بورس سهام پیترزبورگ کار می‌کرد. جورج والیدمر کانتور زاده‌ی دانمارک (Denmark) بود و عمیقاً به فرهنگ و هنر عشق می‌ورزید. ماریا آنّـا بـوم (Maria Anna Böhm)، مادر کانتور، روسی و بسیار اهل موسیقی بود. مطمئناً جورج استعداد قابل توجهی در موسیقی و هنر از والدینش به ارث برده بود چرا که او نیز ویلون زن برجسته‌ای بود. جورج درحالی که مادرش کاتولیک بود، پرورش یافته‌ی مذهب پدری‌اش؛ پروتستان بود.

کانتور تحصیلات مقدماتی را در خانه توسط یک معلم خصوصی فراگرفت و پس از آن در پیترزبورگ به مدرسه‌ی ابتدایی رفت. او به همراه خانواده‌اش در سال 1856 ، زمانی که فقط یازده ساله بود؛ به آلمان کوچ کردند. با این وجود :

...«...او هرچند بقیه‌ی عمرش را در آلمان زندگی کرد و ظاهراً هرگز به زبان مادری‌اش چیزی ننوشته بود، اما با احساس غربت فراوانی سال‌های اولیه عمرش در روسیه را به یاد می‌آورد و هرگز در آلمان احساس آرامش نمی‌کرد...»...

پدر کانتور سلامتی خوبی نداشت و با رفتن به آلمان، با آب و هوایی گرمتر از زمستان‌های سخت پیترزبورگ روبرو شد. آن‌ها در ابتدا در ویسبادن (Wiesbaden) ساکن شدند، جایی که کانتور ژیمناستیک (Gymnasium) یاد گرفت؛ پس از آن به فرانکفورت (Frankfurt) نقل مکان کردند. کانتور در شهر دارمسد (Darmstadt) در مدرسه Realschule به صورت شبانه روزی تحصیل می‌کرد. در سال 1860 با یک کارنامه‌ی عالی از آن جا فارغ التحصیل شد. کارنامه‌ای که استعدادهای خارق العاده‌ی او را در ریاضیات و به ویژه در مثلثات، به خوبی نشان می‌داد. پس از کسب مدرکی از Höhere Gewerbeschule در شهر دارمسد در سال 1860 ، در سال 1862 وارد دانشگاه پلیتکنیک زوریخ (Polytechnic of Zurich) شد. دلیل آن که پدر کانتور Höhere Gewerbeschule را برای پسرش انتخاب کرده بود، این بود که می‌خواست پسرش :

... « ستاره‌ای در آسمان مهندسی باشد ...»...

با این وجود کانتور در سال 1862 در پی کسب اجازه از پدرش برای ادامه تحصیل در ریاضیات در دانشگاه بود و هنگامی که سرانجام موافقت او را کسب کرد، بی نهایت خوشحال بود. تحصیلات کانتور در زوریخ با مرگ پدرش در ژوئن 1863 خیلی زود قطع شد. سپس کانتور به دانشگاه برلین (University of Berlin) رفت و در آن جا با هرمان شوارتز (Hermann Schwarz) همکلاسی بود و با او دوست شد. کانتور در جلسات سخنرانی وایراشتراس (Weierstrass) ، کومر (Kummer) و کرونیکر (Kronecker) حضور داشت. ترم تابستانی 1866 را در دانشگاه گوتینگن (University of Gottingen) سپری کرد و برای اتمام پایان نامه‌اش در نظریه اعداد به نام De aequationibus secundi gradus indeterminatis در سال 1867 به برلین بازگشت.

کانتور زمانی که در برلین بود با انجمن ریاضی رابطه‌ی زیادی داشت و طی سال‌های 1864-65 رئیس انجمن بود. همچنین عضوی از یک گروه کوچک ریاضی بود که هفته‌ای یک بار نشست داشتند. کانتور پس از اخذ مدرک دکتری در سال 1867، در یک مدرسه دخترانه در برلین به تدریس پرداخت. سپس در سال 1868 به سمینار شلباخ (Schellbach) که برای معلمان ریاضی بود، پیوست. در این مدت او روی پایان نامه تخصصی دکترای خود کار می‌کرد و بلافاصله پس از آن که در سال 1369 جذب هاله شد، این رساله‌ی خود را ارائه کرد که باز هم در نظریه اعداد بود و دکترای تخصصی خود را دریافت کرد.

موضوع تحقیقات کانتور در هاله از نظریه اعداد به آنالیز تغییر کرد. این تغییر به خاطر نقش هاینه (Heine ) ، یکی از همکاران ارشدش در هاله بود که کانتور را برای اثبات مسأله حل نشده‌ای درباره‌ی یکتایی نمایش یک تابع به صورت یک سری مثلتاتی ، به مبارزه طلبیده بود. این مسأله یک مسأله دشوار بود که بسیاری از دانشمندان از جمله خودِ هاینه و دیریکله (Dirichlet) ، لیپشیتز (Lipschitz) و ریمان (Riemann ) در مواجهه با آن ناکام مانده بودند. کانتور مسأله را حل کرد و یکتایی نمایش را تا آوریل 1870 ثابت کرد. در بین سال‌های 1870 تا 1872 مقالات بیشتری درباره‌ی سری‌های مثلثاتی منتشر کرد که همه‌ی آن‌ها تأثیرات تدریس وایراشتراس را نشان می‌دهد.

کانتور در سال 1872 در هاله در حد یک پروفسور برجسته ریاضی ترفیع یافت و همان سال سرآغاز دوستی‌اش با ددکیند (Dedekind ) که او را در تعطیلاتی در سویتزرلند ملاقات کرده بود، شد. کانتور در سال 1872 مقاله‌ای درباره سری‌های مثلثاتی منتشر کرد که در آن اعداد گنگ را نسبت به همگرایی دنباله‌هایی از اعداد گویا تعریف می‌کند. در همان سال ددکیند تعریفش از اعداد حقیقی را با " برش‌های ددکیند " منتشر کرد و در این مقاله‌اش به مقاله‌ی سال 1872 کانتور که کانتور برایش ارسال کرده بود، ارجاع می‌دهد.

کانتور در سال 1873 ، شمارش پذیر بودن اعداد گویا را ثابت کرد یعنی می‌توانند با اعداد طبیعی در تناظر یک به یک باشند. همچنین نشان داد که اعداد جبری؛ اعدادی که ریشه‌های چندجمله‌ای‌هایی با ضرایب عدد صحیح اند، شمارا هستند. اما تلاش‌هایش برای به نتیجه رسیدن این که آیا اعداد حقیقی شمارا هستند، سخت تر بود. او سرانجام در دسامبر سال 1873 ثابت کرد که اعداد حقیقی ناشمارا هستند و این موضوع را در مقاله‌ای در سال 1874 چاپ کرد. در همین مقاله است که ایده‌ی تناظر یک به یک برای اولین بار به چشم می‌خورد، هر چند تنها به صورت ضمنی در این مقاله آمده است.

یک عدد متعالی ( غیرجبری ) عدد گنگی است که ریشه‌ی هیچ چندجمله‌ای با ضرایب صحیح نیست. لیوویل (Liouville) در سال 1851 اثبات کرد که اعداد متعالی وجود دارند. کانتور دوازده سال بعد، یعنی در سال 1874 در کارهایش، با اثبات اینکه اعداد حقیقی ناشمارا هستند، نشان داد که " تقریباً تمامی اعداد " در جهت معینی، متعالی هستند ؛ درحالی که او اثبات کرده بود که اعداد جبری شمارا هستند.

کانتور با نامه‌هایی که در طول این مدت با ددکیند ردوبدل می‌کرد، پیشرفت‌هایی به دست آورد. سوال بعدی که او در ژانویه 1874 از خود پرسید این بود که : آیا مربع واحد می‌تواند به توی پاره خط واحد (پاره خطی به طول یک) با یک تناظر یک به یک از نقاط، نگاشته شود؟ او در نامه‌ای در پنجم ژانویه 1874 به ددکیند چنین می‌نویسد :

آیا سطحی ( مانند یک مربع با مرزهایش) می‌تواند به طور یکتا به یک خط ( مثل یک پاره خط با نقاط پایانی‌اش) طوری اشاره داشته باشد که برای هر نقطه روی سطح، یک نقطه‌ی متناظر روی خط وجود داشته باشد و برعکس برای هر نقطه روی خط، یک نقطه‌ی متناظر روی سطح وجود داشته باشد؟ من فکر می‌کنم علی رغم این که پاسخ به وضوح " خیر " است و به نظر می‌رسد که اثبات آن تقریباً غیر ضروری است؛ پاسخ این سؤال کار ساده‌ای نباشد.

سال 1874 یکی از سال‌های مهم زندگی شخصی کانتور بود. او در بهار همان سال با یکی از دوستان خواهرش ، به نام والی گوتمن (Vally Guttmann ) نامزد کرد و در نهم آگوست 1874 باهم ازدواج کردند و ماه عسل را در اینترلیکنِ (Interlaken) در سویتزرلند (Switzerland) گذراندند، جایی که بیشتر مباحث ریاضی کانتور با ددکیند آن جا بود.

مکاتبات کانتور با ددکیند ادامه داشت. کانتور نظریاتش را با ددکیند در میان می‌گذاشت و نظریات او را جویا می‌شد. کانتور در نامه‌ای در سال 1877 به ددکیند نوشت که تناظر یک به یکی بین نقاط بازه‌ی و نقاط صفحه‌ی p-بعدی وجود دارد.کانتور از این کشف خودش شگفت زده بود و نوشت :

... می‌بینم ولی باور ندارم ...

البته این قضیه کاربردهایی در هندسه و در نمایش بعد یک فضا دارد. در سال 1877 مقاله‌ی مهم کانتور درباره‌ی بُعدها در مجله‌ی کِرِل (Crelle) ارائه شد که کرونیکر با شک و تردید به آن پرداخت و فقط بعد از این که ددکیند به طرفداری از کانتور میانجی گری کرد، منتشر شد. کانتور از مخالفت کرونیکر با مقاله‌اش بسیار رنجید و دیگر هرگز مقاله‌ای به کِرِل ارائه نکرد.