دترمینان
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
تعریف دترمینان: فرض کنید که \(A = [a_{ij}]\) یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n\) به صورت زیر باشد:
\(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.&.&.&a_{1n}\\.&.&.&.&.&.\\.&&&&&.\\.&&&&&.\\.&&&&&.\\a_{n1}&a_{n2}&.&.&.&a_{nn}\end{bmatrix}\)
ابتدا یادآوری کنیم که نمایش ماتریس \(A\) به صورت بردارهای ستونی به شکل زیر خواهد بود:
\(\begin{bmatrix}a_1 & .&.&. & a_n \end{bmatrix}\)
که \(a_j\) ستون jم ماتریس می‌باشد. یعنی به ازای \(1 \leq j \leq n\) برداری از مرتبه \(n \times 1\) داریم:
\(a_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j} \\ a_{2j} \\ . \\. \\. \\ a_{nj}\end{bmatrix}\)
در این صورت دترمینان ماتریس \(A\) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
\(det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (sgn( \sigma) \prod_{i=1}^n a_{i , \sigma_i})\)
و به صورت \( det(A) = \left| A \right| \) نشان می‌دهیم.
در واقع فرمول بالا مجموع را بر روی تمام جایگشت‌های \(\sigma\) از مجموعه \(\{ 1 ... , n \}\) محاسبه می‌کند. نماد \(\prod_{i=1}^n a_i , \sigma_i\) در واقع حاصلضرب \(a_{1,\sigma_1}\times a_{2,\sigma_2}...\times a_{n,\sigma_n}\) را نشان می‌دهد.
مثال ۱. فرض کنید که \(A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) باشد. دترمینان ماتریس \(A\) را محاسبه کنید.
چون \(A\) یک ماتریس \(2 \times 2\) می‌باشد. پس \(S = \{ 1, 2 \}\) در نظر گرفته و تمام جایگشت‌های آن به صورت زیر خواهد بود:
\(S_2 = \{ \alpha = \begin{pmatrix}1 & 2 \\1 & 2 \end{pmatrix} , \beta = \begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \end{pmatrix} \}\)
دترمینان این ماتریس با توجه به تعریف دترمینان به صورت زیر به دست خواهد آمد:
\(det(A) = det (\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &5 \end{bmatrix}) = \sum_{\sigma \in S_2} sgn(\sigma) a_{1 , \sigma(1)}a_{2 , \sigma(2)} = sgn(\alpha) a_{1 , \alpha (1)} a_{2 , \alpha (2)} + sgn ( \beta) a_{1 , \beta(1)} a_{2 , \beta(2)}\)
حال با توجه به مفاهیم جایگشت‌های زوج و فرد داریم:
\(sgn(\alpha) =1,\:\:\: sgn( \beta) = -1\)
و از طرفی داریم:
\(\alpha(1) = 1 ,\:\: \alpha(2) = 2\)
\(\beta(1) = 2 ,\:\: \beta(2) = 1\)
پس در نتیجه دترمینان این ماتریس برابر خواهد بود با
\(det(A) = 1 \times a_{11} a_{22} + (-1) \times a_{12}a_{22} = 1 \times 1 \times 5 - 2 \times 3 = 5 -6 = -1\)
نکته ۱. \(A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\) یک ماتریس از مرتبه \( 2 \times 2\) باشد. در این صورت با توجه به تعریف دترمینان، مقدار دترمینان ماتریس \(2 \times 2\) برابر خواهد شد با
\(det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\)
تمرین ۱. دترمینان ماتریس \(3 \times 3\) زیر را محاسبه کنید:
\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)
تمرین ۲. دترمینان ماتریسهای زیر را محاسبه کنید.
۱. \(A = \begin{bmatrix}1 & 5 & 7 \\8 & 9 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
۲. \(B = \begin{bmatrix}1 & 5 & 3 \\2 & 1 & 4 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)
۳. \(C = \begin{bmatrix}1 & 5 \\0 & 3 \end{bmatrix}\)
