اعمال سطری مقدماتی
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
رای دهی: 5 / 5
اعمال سطری مقدماتی: فرض کنید که \(e\) تابعی به شکل زیر باشد.
\(e: M_{m \times n}(F) \Rightarrow M_{m \times n}(F)\)
ماتریس های \(A\) و \(B\) را از فضای ماتریسی \(M_{m \times n}(F)\) به صورت سطری زیر نمایش می‌دهیم:
\(A = \begin{bmatrix}A_1 \\ . \\ . \\ . \\ A_m \end{bmatrix} ,\ B = \begin{bmatrix}B_1 \\ . \\ . \\ . \\ B_m \end{bmatrix}\)
که در آن \(A_j\) و \(B_j\) برای \(1 \leq j \leq m\) سطر jام ماتریس‌های \(A\) و \(B\) باشند. لذا برای ضابطه تابع \(e\) سه حالت زیر را داریم:
۱. ماتریس \(B\) را می‌توان از ماتریس \(A\) با ضرب یک سطر این ماتریس در عدد ثابت \(C\) بدست آورد. یعنی داریم:
\(1 \leq i \leq m :\ B_i = \begin{cases}CA_i & i = k\\A_i & i \neq k\end{cases}\)
یعنی می‌گویند که سطر iام ماتریس \(A\) را در عدد \(C\) ضرب کن بقیه سطرهای ماتریس \(B\)ُ همان سطرهای ماتریس \(A\) باشند.
۲. ماتریس \(B\) را می‌توان از جا به جایی دو سطر از ماتریس \(A\) بدست آورد یعنی داریم.
\(1 \leq i \leq m :\ B_i = \begin{cases}A_k & i = h\\A_h & i = k \\ A_i & i \leq h,k \end{cases}\)
در اینجا منظور این است که سطرهای \(k\) و \(h\) را باهم جا به جا کن بقیه سطرهای همان سطرهای ماتریس \(A\)ُ باشند.
۳. ماتریس \(B\) را از مجموع یک سطر در مضربی ثابت از سطر دیگر بدست آوردیم. یعنی داریم:
\(1 \leq i \leq m :\ B_i = \begin{cases}A_k + CA_h & i = k\\A_i & i \neq k\end{cases}\)
یعنی می‌گویند که \(C\) برابر سطر \(h\) ام \(A\) را با سطر \(k\)ام جمع کن و آن را به جای سطر \(k\)ام ماتریس قرار بدهید.
در واقع هر تابعی به شکل بالا را یک تابع سطری مقدماتی می‌گویند.
مثال: فرض کنید که \(B\) ماتریسی باشد که از مجموع سطر دوم ماتریس \(A\) با ۳برابر سطر سوم بدست آید در اینصورت ماتریس \(B\) را بدست آورید.
\(A = \begin{bmatrix}1 & 5 & 2 \\0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow B = \begin{bmatrix}1 & 5 & 2 \\ 0+3 \times 4 & 3+2 \times 3 & 1+0 \times 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 5 & 2 \\12 & 9 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}\)
تمرین ۱. فرض کنید ماتریس \(B\) که به شکل زیر می‌باشد از مجموع سطر اول و سوم و جا به جایی سطر دوم و چهارم بدست آمده است. ماتریس اولیه \(A\) را محاسبه کنید.
1. \(B = \begin{bmatrix}2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 1 & 7 & 0 \\ 4 & 9 & 8 & 1 \\ 2 & 3 & 5 & 1 \end{bmatrix}\)
2. \(B = \begin{bmatrix}8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 1 & 5 & 6 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 7 & 8 & 1 \\ 4 & 5 & 9 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 1 \end{bmatrix}\)
تذکر ۱. هر تابع سطری مقدماتی تابع معکوس پذیر است. دقت کنید که معکوس آن هم یک تابع سطری مقدماتی می‌باشند. فرض کنید که \(C\) یک تابع سطری مقدماتی باشد. در اینصورت عمل سطری مقدماتی چون \(e_1\) موجود است به قسمی که.
\(e(e_1(A)) = e_1(e(A))=A\)
برای توضیح بیشتر می‌توایید در تعریف ضابطه تابع سطری مقدماتی که در اول این بحث هرکاری که برای ضابطه انجام می‌دادید را در جهت عکس عمل کنید که معکوس عمل سطری مقدماتی حاصل شود.
