ماتریس خودتوان
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
ماتریس خود توان: فرض کنید A یک ماتریس \( n \times n \) باشد. ماتریس A را خود توان نامیم، هرگاه توانش با خودش برابر باشد یعنی رابطه زیر برقرار باشد:
\( A \times A = A^{2} = A \)
مثال ۱. کدام یک از ماتریسهای زیر خود توان هستند.
۱. \(A=\begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix}\)
برای بررسی خودتوانی ماتریس فوق کافی است ماتریس A را یکبار در خودش ضرب نمایید. لذا داریم:
۱. \(A*A=\begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\+1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix}\)
همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس حاصل شده با ماتریس اولیه برابر می‌باشد. لذا طبق تعریف ماتریس خود توان این ماتریس، یک ماتریس خود توان می‌باشد.
۲. \(B =\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}\)
برای بررسی خودتوانی ماتریس B کافی است آن را یکبار در خودش ضرب نماییم. لذا داریم:
۲. \(B*B =\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}& \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}\)
تمرین ۱. بررسی کنید ماتریس زیر خود توان است.
\( C=\begin{bmatrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{bmatrix} \)
نکته ۱. فرض کنید A ماتریس مربعی خود توان باشد. در اینصورت به ازای هر عدد طبیعی n داریم:
\(A^{n}=A\)
نکته ۲. فرض کنید که A یک ماتریس خود توان باشد. ثابت کنید که I - A یک ماتریس خود توان است.
برا بررسی خود توانی ماتریس I-A کافی است، این ماتریس را یکبار در خودش ضرب نمایید. لذا داریم:
\((I-A)*(I-A)=(I-A)^{2}=I^2-2AI+A^2=I-2A+A=I-A\)
همانطور که مشاهده می‌کنید I-A یک ماتریس خودتوان خواهد شد.
تمرین ۲. فرض کنید A یک ماتریس مربعی \(n \times n\) و خود توان باشد. در این صورت عبارت زیر را ثابت کنید.
\(\forall n\in \mathbb{N}, (I+A)^{n}=I+(2^{n} -1)A\)
