معکوس تابع
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
با توجه به این که هر تابع خود نیز یک رابطه است، تعریف زیر را نیز برای معکوس یک تابع می‌توان بیان نمود:
معکوس تابع : تابع f که از مجموعه A (دامنه تابع) به مجموعه B (برد تابع) به صورت زیر بیان شده است، را در نظر بگیرید.
\(f: A\rightarrow B\)
\(f =\{(a , b) \subset A\times B | a\in A , b\in B \}\)
در اینصورت معکوس تابع f، رابطه‌ای چونg است که به شکل زیر خواهد بود:
\( f: B\rightarrow A\)
\(g=\{(b , a) \subset B\times A |(a , b)\in f \}\)
معکوس تابع f را نیز با نماد f-1 نشان می‌دهیم.
در واقع تعریف بالا بیان می‌کند، تابع معکوس را می‌توان با جابه‌جا کردن مکان مولفه‌های تمام زوج‌های مرتبی که در مجموعه f موجود می‌باشند به دست آورد.
مثال ۱. معکوس توابع زیر را به دست آورید.
- \(f =\{(1 , 5) , (2 , 6), (3 , 4)\}\)
معکوس تابع f به صورت زیر بدست خواهد آمد:
\(f^{-1} =\{(5 , 1) , (2 , 6), (4 , 3) \}\)
با توجه به شکل زیر می‌توان مشاهده کرد که برای به دست آوردن معکوس تابع f کافی است جای مولفه های هر زوج مرتب در مجموعه f را عوض کنید.
در قسمت اول این مثال مشاهده می‌کنید که معکوس تابع f ، خود نیز یک تابع است.
- \(g =\{(1 ,a) , (2 , a), (3 , 4)\}\)
داریم:
\(g^{-1} =\{(a , 1) , (a , 2), (3 , 4)\}\)
قسمت دوم مثال بالا نشان می‌دهد که معکوس تابع g تنها یک رابطه است و تابع نمی‌باشد، زیرا پیکان مربوط به عنصر a در 1-g به دو عضو ۱ و ۲ متصل شده است و این موضوع در تناقض با مفهوم تابع بودن می‌باشد. اکنون سوالی که در اینجا مطرح می‌گردد این است که در چه شرایطی معکوس یک تابع، خود نیز یک تابع است؟ برای پاسخ به این سوال می‌توانید به مفهوم یک به یک بودن رجوع نمایید.
نکته ۱. با توجه به مثال بالا می‌توان بیان نمود که معکوس یک تابع لزوماً تابع نیست.
تمرین ۱. معکوس توابع زیر را به دست آورید و با رسم شکل نشان دهید معکوس کدامیک تابع و معکوس کدامیک تنها یک رابطه است.
- \(f = \{(1 , 1) , (5 , a) , (6 , 3) , (c , d) \}\)
- \(g =\{( 6 , 3), (a , a) , (10 , 1) , (11 , 1) , (12 , a) \}\)
- \(h = \{(xx , x) , (xxx , x) , (x , x) \}\)
