زیرماتریس
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
زیرماتریس: فرض کنید که \(A\) یک ماتریس \(m \times n\) باشد. در اینصورت یک زیرمجموعه از سطرها و یک زیرمجموعه از ستون‌های ماتریس \(A\) با هم ماتریس جدیدی را ایجاد می‌کند، که آن را زیرماتریسی از ماتریس \(A\) گویند. به عبارت دیگر این موضوع را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی به گونه زیر بیان نمود:
فرض کنید که \(A\) یک ماتریس \(m \times n\) باشد. یک زیر ماتریس از ماتریس \(A\) به صورت زیر مشخص می‌شود:
۱. \(\{ a_1 , ... , a_r \}\)، مجموعه \(r\) اندیس انتخاب شده از کل \(m\) سطر ماتریس A می‌باشد.
۲. \(\{ b_1 , ... , b_s \}\)، مجموعه \(s\) ستون انتخاب شده از کل \(n\) ستون ماتریس A می‌باشد.
در نتیجه زیرماتریس تشکیل شده از سطرها با اندیس‌های \(\{ a_1 , ... , a_r \}\) و از ستون‌ها با اندیس‌های \(\{ b_1 , ... , b_s \}\) به صورت زیر مشخص می‌شوند:
\(A = [a_1 , a_2 , ... , b_a , b_2 , ... , b_s] \)
برای مثال، ماتریس زیر را در نظر بگیرید. برای تشکیل زیرماتریس، ابتدا سطرها و ستون‌های ۲، ۳ و ۵ را انتخاب می‌کنیم و با استفاده از آنها زیرماتریس را به صورت زیر تشکیل می‌دهیم. به عبارت دیگر سطرها و ستون‌های اول و چهارم را از ماتریس اصلی حذف می‌کنیم ( روی آن خط خورده است)
مثال ۱. سه زیرماتریس، ماتریس زیر را مشخص کنید.
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \end{bmatrix} \)
⇒ \(A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)
⇒ \(A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix}\)
⇒ \(A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}\)
نکته ۱. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس \( m \times n\) باشد. تعداد کل زیرماتریس‌های از مرتبه \(k_1 \times k_2\) برابر است با
\(\begin{pmatrix} m \\ k_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ k_1 \end{pmatrix} = \frac{m! n!}{(m-k_1)! k_1!k_2!(n-k_2)!}\)
و همچنین تعداد کل زیرماتریس‌های یک ماتریس از مرتبه \(m \times n\) برابر است با
\(\sum_{k_1=1}^m \sum_{k_2=1}^n \left(\begin{array}{c}m\\ k_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ k_2\end{array}\right) = (2^m-1)(2^n-1)\)
مثال ۲. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس \( 5 \times 4\) باشد . تعداد کل زیرماتریس‌های از مرتبه‌های \(3 \times 3\) ،\( 1 \times 2 \) و \( 2 \times 3 \) را به دست آورید، و همچنین تعداد کل زیرماتریس‌های ماتریس \(A\) را محاسبه کنید.
برای محاسبه تعداد زیرماتریس‌ها به گونه زیر عمل می‌کنیم:
\(\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) = \frac{5! 4!}{2! 3!(5-2)!(4-3)!} = \frac{5! 4!}{2! 3! 3! 1!}\)
\(\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) = \frac{5! 4!}{1! 2!(5-1)!(4-2)!} = \frac{5! 4!}{2! 4! 2!}\)
\(\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) = \frac{5! 4!}{3! 3!(5-3)!(4-3)!} = \frac{5! 4!}{3! 3! 2!}\)
و تعداد کل زیرماتریس‌های این ماتریس عبارتند از:
\(\sum_{k_1 =1}^5 \sum_{k_2 =1}^4\left(\begin{array}{c}5\\ k_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ k_2\end{array}\right) = (2^5-1)(2^4-1) = 31 \times 15\)
تمرین ۱. تعداد کل زیرماتریس‌های از مرتبه‌های \(5 \times 6\)، \(8\times 2\) و \(3\times 2\) از یک ماتریس از مرتبه \(12\times 7\) را محاسبه کنید.
