آنالیز ریاضی1،فردوسی مشهد،صادقی،خرداد1386
رای دهی: 5 / 5
به نام خدا
الهم صل علي محمد و آل محمد
نمونه سوالات : آناليز رياضي 1
نام استاد : دکتر صادقي
تاريخ برگزاري : خرداد 1386
دانشگاه : فردوسي مشهد
دانشكده : علوم رياضي
رشته : رياضي
1. فرض کنيد 
يک فضاي متريک فشرده باشد. نشان دهيد هر تابع پيوسته حقيقي مقدار روي X کراندار است.
2. فرض کنيد يک فضاي متريک همبند باشد. نشان دهيد براي هر زير مجموعه غير تهي و اکيد از X مانند A
: 
.
3. فرض کنيد f تابعي پيوسته از فضاي متريک 
به توي فضاي متريک 
باشد به طوري که براي هر 
. ثابت کنيد f پيوسته است.
4. فرض کنيد يک فضاي متريک و 
باشد. تابع حقيقي مقدار 
را روي X به صورت 
در نظر مي گيريم. ثابت کنيد :
الف : تابع روي X به طور يکنواخت پيوسته است.
ب : 
5. براي دنباله ي 
حاصل عبارت زير را محاسبه کنيد.
6. فرض کنيد f تابعي يکنواخت پيوسته از فضاي متريک به توي فضاي متريک باشد و 
يک دنباله ي کشي در X .ثابت کنيد 
نيز يک دنباله ي کشي در Y مي باشد. ( در ضمن نشان دهيد با ذکر يک مثال شرط پيوستگي يکنواخت f الزامي است. )
7. فرض کنيد تابع f بر بازه ي 
داراي مشتق باشد و هم چنين روي فاصله ي ، 
، اگر قرار دهيم 
نشان دهيد دنباله ي 
همگراست.
8. قضيه ي مقدار مياني را براي مشتق يک تابع حقيقي بيان و اثبات نماييد.
9. فرض کنيد f تابعي از فضاي متريک به توي فضاي متريک باشد به طوري که براي هر زيرمجموعه ی فشرده 
، تحديد تابع f بر K پيوسته باشد. ثابت کنيد تابع 
نيز پيوسته است.
از سه سؤال زير فقط به يک سوال به دلخواه پاسخ دهيد.
A. ثابت کنيد تابع 
بر 
به طور يکنواخت پيوسته است.
B . فرض کنيد 
و تابع 
به طور يکنواخت پيوسته باشد و A يک زير مجموعه کراندار از 
. ثابت کنيد تابع f بر A کراندار است.
C . نشان دهيد بسته و کراندار بودن در حالت کلي فشردگي را در فضاهاي متريک نتيجه نمي دهد.
