ترکیب خطی
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
ترکیب خطی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. اگر \(\alpha_1 , \dots \alpha_n\) اسکالرهایی از میدان F و \(v_1 , \dots , v_n\) بردارهایی از فضای برداری V باشد. در اینصورت ترکیب خطی از \(v_i\)ها به صورت زیر بیان می‌شود:
\(\alpha_1v_1 + ... + \alpha_n v_n =0\)
به عبارت دیگر حاصلجمع جبری مضرب‌هایی از چند بردار را ترکیب خطی از آن بردارها گویند. ترکیب خطی فقط مختص بردارها نیست، اگر به جای بردار، تابع قرار داده شود، ترکیب خطی توابع را خواهیم داشت و ... .
رد یک فضای برداری، می توانیم هر بردار را به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بنویسیم. چگونگی این کار را در مثال های زیر خواهیم آموخت.
مثال ۱. بردار \( v_1 = (1,5)\) را به صورت ترکیب خطی از بردارهای \( (2,3)\) و \((0,1)\) بنویسید.
برای اینکه بتوانیم یک بردار را به صورت ترکیب خطی از دو بردار دیگر بنویسیم، کافی است اسکالرهای \( \alpha_1 \) و \( \alpha_2\) را از میدان \(F\) به گونه‌ای بیابیم که داشته باشیم:
\( (1,5) = \alpha_1 (0,1) + \alpha_2 (2,3) \)
از اینجا داریم:
\( (1,5) = (0,\alpha_1) + (2 \alpha_2 , 3 \alpha_2)\)
حال دستگاه زیر به دست خواهد آمد:
\(\begin{cases}2 \alpha_2 = 1 \Longrightarrow \alpha_2 = \frac{1}{2}\\3\alpha_2 + \alpha_1=5 \Longrightarrow \alpha_1 = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \end{cases}\)
حال برای اینکه بخواهیم بردار \(v_1\) را به صورت ترکیب خطی سایر بردارها بنویسیم، کافی است \(\alpha_1 = \frac{7}{2} \) و \( \alpha_2 = \frac {1}{2}\) در نظر بگیریم.
مثال ۲. بردار \(v_1 = (1,5,8)\) را به صورت ترکیب خطی \((1,2,3)\)، \((0,1,0)\) و \((0,0,1)\) بنویسید.
برای نوشتن این بردار به صورت ترکیب خطی سه بردار فوق کافی است \(\alpha_2 \) ،\( \alpha_1 \) و \( \alpha_3\) را طوری بیابیم که عبارت زیر برقرار باشد:
\((1,5,8) = \alpha_1(1,2,3) + \alpha_2(0,1,0) + \alpha_3(0,0,1)\)
لذا از عبارت فوق دستگاه زیر بدست خواهد آمد:
\(\begin{cases} \alpha_3 + 3\alpha_1 = 8 \Longrightarrow \alpha_3 = 8-3 = 5 \\ \alpha_2 + 2\alpha_1 = 5 \Longrightarrow \alpha_2 = 5-2 =3 \\ \alpha_1 = 1\end{cases}\)
پس کافی است که \(\alpha_1 = 1 \)، \( \alpha_2 = 3 \) و \( \alpha_3 = 5\) در نظر بگیریم.
مثال ۳. تابع \(y = 5x+1\) به صورت ترکیب خطی از توابع \( y_1 = 3x+7 , y_2 = 12x+5 \) بنویسید.
برای نوشتن تابع \(y = 5x+1\) به صورت ترکیب خطی توابع گفته شده کافی است، ضرایبی چون \( \alpha_1 , \alpha_2\) را به گونه‌ای بیابیم که عبارت زیر برقرار باشد:
\(5x+1 = \alpha_1(3x+7) + \alpha_2(12x+5)\)
از اینجا داریم:
\( 5x+1 = (3 \alpha_1 + 12 \alpha_2)x + 7 \alpha_1 + 5\alpha_2\)
در نتیجه دستگاه زیر را داریم:
\(\begin{cases}3\alpha_1 + 12 \alpha_2 = 5\\7 \alpha_1 + 5\alpha_2 = 1\end{cases}\)
با حل این دستگاه داریم:
\(\begin{cases}(-7)3\alpha_1 + (-7)12 \alpha_2 = 5\\(3)7 \alpha_1 + (3)5\alpha_2 = 1\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}-21 \alpha_1 - 84 \alpha_2 = -35 \\ 21 \alpha_1 + 15\alpha_2 = 3 \end{cases}\) ⇒ \(-69 \alpha_2 = -32 \Rightarrow \alpha_2= \frac{32}{69}\) ⇒ \(7\alpha_1 = 1-5 \times \frac{32}{69}\)
تمرین . بردارها و توابع زیر را به صورت ترکیب خطی بردارهای مشخص شده بیان کنید.
- تابع \(f(x) = 2x^2+1\) را به صورت ترکیب خطی \(f_1 = x^2 + 2x+5 \) ، \( f_3 = 2x+5 \) و \( f_2 = x^2+1\) بنویسید.
- بردار \((5,3,0)\) را به صورت ترکیب خطی بردارهای \(v_3 = (1,0,0)\) ، \(v_2 = (5,8,9) \) و \( v_1 = (10,5,7)\) بنویسید.
