پایانترم جبر 1 دکتر عرفانیان 25/10/1386
رای دهی: 5 / 5
نمونه سوالات : پایانترم جبر 1
نام استاد : دکتر عرفانیان
تاريخ برگزاري : 25/10/1386
دانشگاه : فردوسی مشهد
دانشكده : علوم ریاضی
رشته : ریاضی
1. الف : هریک از مفاهیم حلقه تقسیم ، حوزه صحیح و مقسوم علیه صفر را تعریف کنید .
ب : ثابت کنید هر حوزه صحیح متناهی یک میدان است. آیا شرط متناهی بودن الزامی می باشد؟ چرا؟
پ : فرض کنید n یک عدد صحیح و مثبت باشد. در این صورت ثابت کنید 
یک میدان است اگر و فقط اگر n عدد اول باشد.
2. الف : مفاهیم همریختی حلقه و مشخصه حلقه را تعریف کنید.
ب : ثابت کنید مشخصه یک حوزه صحیح برابر صفر است یا یک عدد اول.
پ : فرض کنید F یک میدان با مشخصه عدد اول 
باشد. نگاشت 
را با ضابطه 
تعریف می کنیم. ثابت کنید 
یک یکریختی حلقه است.
3 . الف : هر یک از مفاهیم ایده آل اول و ایده آل ماکسیمال را تعریف کنید و برای هر کدام یک مثال بیاورید.
ب : ثابت کنید هر ایده آل ماکسیمال یک ایده آل اول است. آیا عکس آن صحیح است؟ چرا؟
پ : فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار و P یک ایده آل در آن نباشد. ثابت کنید P یک ایده آل است اگر و فقط اگر 
یک حوزه صحیح باشد.
4 . الف : حاصل ضرب مستقیم داخلی و خارجی را تعریف کنید.
ب : فرض کنید 
دو گروه و 
حاصل ضرب مستقیم خارجی گروه های باشد. ثابت کنید 
.
5 . سوال جایزه : ( توجه : پاسخ به این سوال الزامی نیست ولی در صورت پاسخگویی، امتیاز آن به کل امتیازات اضافه خواهد شد. )
الف : فرض کنید R یک حلقه یکدار باشد و به ازای هر 
داشته باشیم 
. ثابت کنید این حلقه جابجایی است.
ب : فرض کنید G یگ گروه و 
یک همریختی باشد به طوری که 
و 
. در این صورت ثابت کنید 
.
