ویژگی ماتریسهای پوچ توان
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
ویژگی‌های ماتریسهای پوچ توان: در این مطلب سعی نموده‌ایم، ویژگی‌های مهمی که در بین ماتریسهای پوچ توان برقرار می‌باشد، را ارائه کنیم.
ویژگی ۱. هر ماتریس بالامثلثی یا ماتریس پایین مثلثی که درایه‌های روی قطر اصلی آن صفر باشد حتما ماتریس پوچ توان است.
مثال ۱. نشان دهید که ماتریسهای زیر ماتریسهای پوچ توان هستند.
\(A=\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\)
همانطور که مشاهده می‌کنید، تمام درایه‌های زیر قطر اصلی ماتریس فوق صفر می‌باشد، پس این ماتریس یک ماتریس بالامثلثی خواهد بود. طبق ویژگی ۱، این ماتریس یک ماتریس پوچ توان خواهد بود. برای نشان دادن این موضوع کافی است که ماتریس A را حداکثر به تعداد سطرها یا ستون‌هایش در خودش ضرب کنید. لذا داریم:
\( A*A=\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&2&7\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\)
حال ماتریس حاصل شده را دوباره در ماتریس A ضرب کنید، خواهید داشت:
\(A^2 * A= \begin{bmatrix} 0&0&2&7\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\)
و در نهایت اگر بار دیگر ماتریس حاصل شده را در ماتریس A را ضرب کنید ماتریس صفر حاصل خواهد شد. لذا یک ماتریس پوچ توان خواهد بود.
ویژگی ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس مربعی از مرتبه \( n\times n\)، پوچ توان و تعویض پذیر باشند. در اینصورت ماتریس A+B نیز یک ماتریس پوچ توان خواهد بود.
مثال ۲. دو ماتریس A و B را به شکل زیر در نظر بگیرید. بررسی کنید که آیا مجموع این دو ماتریس خودتوان است.
\(A=\begin{bmatrix}0&1\\0 &0\\ \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 0&0\\1&0\\ \end{bmatrix}\)
با توجه به ویژگی ۱، دو ماتریس A و B پوچ توان هستند. ولی مجموع این دو ماتریس پوچ توان نخواهد بود، زیرا با توجه به ویژگی دو باید این دو ماتریس تعویض پذیر هم باشند، ولی می‌توان مشاهده نمود که \(AB\neq BA\) لذا مجموع این دو ماتریس پوچ توان نخواهد شد. با توجه به اینکه مجموع دو ماتریس A و B به صورت زیر خواهد شد، داریم:
\(A+B= \begin{bmatrix}0&1\\0 &0\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\\ \end{bmatrix}\)
و با بررسی پوچ توانی خواهیم داشت:
\((A+B)*(A+B)=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\ \end{bmatrix}\)
در نتیجه این ماتریس هرگز پوچ توان نخواهد شد.
ویژگی ۳. فرض کنید که A یک ماتریس \( n \times n \) بر روی یک میدان F و پوچ توان باشد. در اینصورت ماتریس\( \lambda A \) پوچ توان خواهد بود.
تمرین ۱. ثابت کنید که ماتریس زیر پوچ توان است.
\(A=\begin{bmatrix} 0&1+i&3\\ 0&0&i\\ 0&i&0 \\ \end{bmatrix}, \lambda = 2i+1, \lambda A =?\)
ویژگی ۴. فرض کنید که A و B دو ماتریس تعویض پذیر باشند، اگر یکی از دو ماتریسهای A و B پوچ توان باشند، آنگاه AB ماتریس پوچ توان خواهد بود.
ویژگی ۵. ماتریس صفر تنها ماتریسی است که هم خود توان و هم پوچ توان است.
ویژگی ۶. فرض کنید که ماتریس A پوچ توان باشد. اگر تابع \(f(x)\) یک تابع چندجمله‌ای با جمله ثابت صفر باشد، در اینصورت f(A) یک ماتریس پوچ توان است.
تمرین ۲. نشان دهید کدامیک از ماتریسهای زیر پوچ توان است.
۱. \(A=\begin{bmatrix} 0&i&3i\\ 0&0&-1\\ 0&i&i \\ \end{bmatrix}, \lambda = 5i, \lambda A=?\)
۲. \(f(x)=x^2+x, f(A)=?\)
۳. \(A=\begin{bmatrix} 0&i&3i\\ 0&0&-1\\ 0&i&i \\ \end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 1&2&3i\\ 0&5&-1\\ 0&-i&i \\ \end{bmatrix}, AB=?\)
