چگونه سری مک‌لورن تابع sin (x) را محاسبه کنیم؟

مقطع تحصیلی: کارشناسی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

چگونه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x) \) را محاسبه کنیم؟

محاسبه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x) \) به سادگی از طریق تعریف انجام می‌شود. بنابراین مشتقات تابع را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.


روش محاسبه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x) \) :

برای محاسبه سری مک‌لورن تابع \( \sin x \) ، ابتدا مقدار تابع را در نقطه \( x=0 \) به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول سری مک‌لورن جایگذاری کرده و سری (بسط) مک‌لورن تابع به دست خواهد آمد.

\( f(x) = \sin x \Longrightarrow f (0) = \sin (0) = 0 \)

\( f(x) = \sin x \Longrightarrow f^{\prime} (x) =  \cos (x)  \Longrightarrow f^{\prime} (0) =  \cos (0) = 1 \)

\( f^{\prime}(x) = \cos (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \sin (x)  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = - \sin (0) = 0 \)

\( f^{\prime\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  -\cos (x)  \Longrightarrow f^{(3)} (0) =  -\cos (0) = -1 \)

\( f^{(3)}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) = -(- \sin (x)) = \sin x  \Longrightarrow f^{(4)} (0) =  \sin (0) = 0 \)

و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( x = 0 \)  به صورت زیر تکرار خواهد شد:

\(  f^{(5)} (0) = 1  , f^{(6)} (0) = 0  , f^{(7)} (0) = -1  , f^{(8)} (0) = 0  , f^{(9)} (0) = 1  , \cdots  \)

بنابراین سری مک‌لورن تابع \( \sin x \) با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

\( \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!}  + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\  &= 0 +  1 \times x +0 \times \frac{x^{2}}{2!}  -1 \times \frac{x^{3}}{3!} +0 \times \frac{x^{4}}{4!} + 1 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad + 0 \times \frac{x^{6}}{6!} -1 \times \frac{x^{7}}{7!} +0 \times \frac{x^{8}}{8!} + 1 \times \frac{x^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = x -\frac{x^{3}}{3!} +  \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\frac{x^{9}}{9!} - \cdots   \end{align*} \)

بنابراین چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع \( f(x) = \sin x \) به صورت زیر می‌باشد: 

\( \boxed { \sin x = x -\frac{x^{3}}{3!} +  \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\frac{x^{9}}{9!} - \cdots = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!} } \)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (1557)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution بازدید (914)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme بازدید (989)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme بازدید (1153)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (1111)
Cambridge International AS and A Level M...

فایل های تصادفی

پاسخنامه تشریحی سوالات تستی ریاضی1 پیام نور رشته ریاضی نیم سال دوم 90-89 کد یک پاسخنامه تشریحی سوالات تستی ریاضی1 پیام ... بازدید (18875)
پاسخنامه تشریحی سوالات تستی ریاضی1 پیام ...
مقدمه و فهرست مطالب کتاب منطق، مجموعه ها، اعداد دکتر میزاوزیری مقدمه و فهرست مطالب کتاب منطق، مجموعه ها... بازدید (17344)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب منطق، مجموعه ها...
کتاب جبرخطی پیام نور کتاب جبرخطی پیام نور... بازدید (22038)
کتاب جبرخطی پیام نور، مولفان دکتر محسن ب...
کلید آزمون ریاضی 2 رشته زمین شناسی پیام نور نیم سال دوم 90-91 کلید آزمون ریاضی 2 رشته زمین شناسی پیام ... بازدید (18260)
کلید آزمون ریاضی 2 رشته زمین شناسی پیام...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13960401 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (15917)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک دانش...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (83045)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (40679)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (38532)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38199)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (35117)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
16180723

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا