چگونه سری مک‌لورن تابع e^x را محاسبه کنیم؟

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

چگونه سری مک‌لورن تابع \( e^x \) را محاسبه کنیم؟

محاسبه سری مک‌لورن تابع \( e^x \) به سادگی از طریق تعریف انجام می‌شود. ببینید:


روش محاسبه سری مک‌لورن تابع \( e^x \) :

مانند مثال‌های قبل برای محاسبه سری مک‌لورن تابع نمایی \( f(x) = e^x \) ،ابتدا مقدار تابع را در نقطه \( x=0 \) به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول سری مک‌لورن جایگذاری کرده و بسط سری مک‌لورن تابع \( f(x) = e^x \) به دست خواهد آمد.

\( f(x) = e^x \Longrightarrow f (0) = e^0 = 1 \)

\( f(x) = e^x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = e^x  \Longrightarrow f^{\prime} (0) = e^0 = 1 \)

\( f^{\prime}(x) = e^x \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = e^x  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = e^0 = 1 \)

\( f^{\prime\prime}(x) = e^x \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  e^x \Longrightarrow f^{(3)} (0) =  e^0 = 1 \)

\( f^{(3)}(x) = e^x \Longrightarrow f^{(4)} (x) =  e^x \Longrightarrow f^{(4)} (0) =  e^0 = 1 \)

و به همین ترتیب، چون مشتق تابع نمایی با خودش برابر است، لذا مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( x = 0 \)  همگی برابر با \( 1 \) خواهد شد:

\(  f^{(5)} (0) = 1  , f^{(6)} (0) = 1  , f^{(7)} (0) = 1  , f^{(8)} (0) = 1  , f^{(9)} (0) = 1  , \cdots  \)

بنابراین سری مک‌لورن تابع \( e^x \) با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

\( \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!}  + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\  &= 1 +  1 \times x + 1 \times \frac{x^{2}}{2!}  + 1 \times \frac{x^{3}}{3!} + 1 \times \frac{x^{4}}{4!} + 1 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad +1 \times \frac{x^{6}}{6!} + 1 \times \frac{x^{7}}{7!} + 1 \times \frac{x^{8}}{8!} + 1 \times \frac{x^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = 1 +x + \frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} +\frac{x^{5}}{5!} +\cdots  \end{align*} \)

بنابراین چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع \( f(x) = e^x \) به صورت زیر می‌باشد:

\( \boxed{ e^x = 1 +x + \frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} +\frac{x^{5}}{5!} +\cdots } \)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (1557)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution بازدید (913)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme بازدید (989)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme بازدید (1153)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (1111)
Cambridge International AS and A Level M...

فایل های تصادفی

کتاب مبانی علوم ریاضی، پیام نور، بیژن زاده کتاب مبانی علوم ریاضی، پیام نور، بیژن زا... بازدید (20189)
کتاب مبانی علوم ریاضی دانشگاه پیام نور ن...
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فنایی بهار 1397 جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن... بازدید (9367)
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن...
کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزیری کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی... بازدید (10548)
کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی...
کتاب جبرخطی پیام نور کتاب جبرخطی پیام نور... بازدید (22037)
کتاب جبرخطی پیام نور، مولفان دکتر محسن ب...
مقدمه و فهرست مطالب آنالیز ریاضی 3 دکتر افشار نژاد مقدمه و فهرست مطالب آنالیز ریاضی 3 دکتر ... بازدید (16925)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آنالیز ریاضی 3 ...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (83045)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (40679)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (38531)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38199)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (35116)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
16180380

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا