تعریف جایگشت، مثال و تمرین
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف جایگشت: فرض كنيم S یک مجموعه دلخواه باشد. یک جایگشت بر روی مجموعه S، تابعی دو سویی از مجموعه S به روش خودش می‌باشد. جایگشت را در جبر معمولا با نماد \( \sigma \) نشان می دهیم. یعنی داریم:
\(\sigma : S \rightarrow S\)
\(\sigma(s)=w, \:\: s ,w \in S\)
دو سویی بودن این تابع نشان می‌دهد که هر عضو از مجموعه S، دقیقا به یک عضو از مجموعه S تصویر خواهد شد. در واقع اگر فرض کنید \(S=\{ 1 , 2 , ... , n \}\) باشد، در اینصورت یک جایگشت بر روی مجموعه S را می‌توان به صورت زیر می‌توان نمایش داد:
این جایگشت را بر روی مجموعه \(S\) می‌توان به صورت خلاصه زیر هم نمایش داد:
نکته ۱. فرض کنید که S مجموعه‌ای باشد که جایگشت‌هایی مانند \(\sigma\) بر روی آن تعریف شده باشد. اگر در نمایش جایگشت \(\sigma\) که بر روی مجموعه S تعریف شده است، عناصری از مجموعه S بیان نشود، در اینصورت \(\sigma\) این عناصر را به خودشان تصویر خواهد نمود. برای مثال داریم:
همانطور که مشاهده می‌کنید، در جایگشت بالا مجموعه S شامل اعداد ۱ تا ۷ می‌باشد. با توجه به این نکته، این جایگشت تمامی اعدادی را که از مجموعه S در بر نمی‌گیرد به خودشان تصویر می‌کند. بنابراین داریم:
مثال ۱. همه جایگشت‌های ایجاد شده بر روی مجموعه \( S= \{1,2\} \) را بدست آورید.
تنها دو جایگشت بر روی مجموعه فوق می توان نوشت. یکی جایگشتی که هر عضو را به خودش می برد که با \( \sigma_0 \) نشان می‌دهیم و دیگری جایگشتی که یک را به دو و دو را به ۱ می‌نگارد و با \( \sigma_1 \) نشان می‌دهیم. پس تمام جایگشت‌ها بر روی مجموعه \(S\) به صورت زیر خواهند بود:
نکته: مجموعه همه جایگشت‌های یک مجموعه n عضوی را با نماد \( S_n \) نشان می‌دهیم، پس \(S_2 = \{ \sigma_0 , \sigma_1 \}\) خواهد شد. دقت کنید که عنصر \(\sigma_0\) را عضو همانی مجموعه \(S_2\) گویند و با نماد id نمایش می‌‌دهند.
تعداد کل جایگشت‌ها: به سادگی می‌توان دید که تعداد کل جایگشت‌های ایجاد شده بر روی مجموعه \(S= \{ 1 , 2 , \dots , n \}\) به صورت زیر به دست خواهد آمد:
\(Card(S_n)=|S_n| =n!\)
که در عبارت بالا نماد Card به مفهوم کاردینال یک مجموعه (تعداد اعضای یک مجموعه) است. در واقع این موضوع بیان می‌کند که تعداد کل جایگشت‌ها بر روی مجموعه n عضوی S برابر است با \(1\times 2 \times \dots \times n\).
مثال ۲. تمام جایگشت‌های ایجاد شده بر روی مجموعه \( S = \{1, 2, 3\} \) را به دست آورید.
پس در نتیجه مجموعه \(S_3\) با عناصری به صورت بالا به دست خواهد آمد که در آن \(\sigma_0\) همان عضو همانی مجموعه مذکور می‌باشد.
تمرین ۱. جایگشت‌های مجموعه \( S = \{1,2,3,4 \} \) را به دست آورید.
تمرین ۲. جایگشت‌های مجموعه \(S= \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5\}\) را به دست آورید.
