انعکاس جایگشت
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
انعکاس جایگشت: فرض کنیم که \( \sigma \) یک جایگشت بر روی مجموعه \(\{1 , 2 , ... , n \}\) باشد، در اینصورت جفت مرتب \((i , j) \in \{ 1 ,2 , ... , n \} \times \{ 1 , 2 , ... , n \}\) را یک انعکاس جایگشت \(\sigma\) گویند، هرگاه\( i < j \) باشد، آنگاه \( \sigma (i) > \sigma (j) \) باشد. برای درک هر چه بهتر مفهوم انعکاس جایگشت تصویر زیر را در نظر بگیرید:
همانطور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، ۲ کوچکتر از ۴ است، ولی مقدار \(\sigma(2)\) بزرگتر از \(\sigma(4)\) می‌باشد، در نتیجه یک انعکاس جایگشت است.
مثال ۱. جایگشت زیر چند انعکاس دارد؟
\(\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&4&5\\ 5&4&1&2\\ \end{pmatrix}\)
ابتدا بايد بدانيد كه شكل كامل جايگشت بالا به صورت زير است:
\(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\\ \end{pmatrix}\)
حال با توجه به تعریف انعکاس جایگشت عمل می‌کنیم. تمام حالت‌هایی را که در آن \( i < j \) است، اما \(\sigma (i) > \sigma (j)\) می‌باشد را مورد محاسبه قرار می‌دهیم. ابتدا از عدد \(i=1\) شروع کرده و به ازای تمام \(j=2 ,3 ,4 ,5\) شرط انعکاس جایگشت را مورد بررسی قرار می‌دهیم. در حالت \(i=1\) همواره این شرط برقرار خواهد شد زیرا همیشه \(\sigma(1) >\sigma(j)\) برای هر \(j=2 ,3 ,4 ,5\) می‌باشد. برای حالت \(i=2\)، شرط انعکاس جایگشت برای \(j=3 , 4 , 5\) برقرار خواهد شد. برای حالت \(i=3\) شرط انعکاس جایگشت برای \(j=4 , 5\) برقرار خواهد شد. برای حالت \(i=4\) شرط انعکاس جایگشت برای هیچ jای برقرار نخواهد شد. در نتیجه تعداد انعکاس‌های جایگشت \(\sigma\) برابر است با ۹ عدد خواهد بود.
تمرین ۱. انعکاس جایگشت‌های زیر را بدست آورید.
۱. \(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\\ \end{pmatrix}\)
۲. \(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\7&5&6&2&1&3&4\\ \end{pmatrix}\)
۳. \(\sigma=\begin{pmatrix}2&3&5\\3&5&2\\ \end{pmatrix}\)
