رای دهی: 5 / 5

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

مقاله‌ای در مورد بُعد که در سال 1878 در آن مجله چاپ شد، مفهوم تناظر یک به یک را دقیقاً مشخص ساخت. مقاله در مجموعه‌های شمارا بحث می‌کند، یعنی مجموعه‌هایی که در تناظر یک به یک با اعداد طبیعی‌اند. همچنین مجموعه‌هایی با توان‌های مساوی را مورد مطالعه قرار می‌دهد یعنی مجموعه‌هایی که با یکدیگر در تناظر یک به یک هستند. همچنین کانتور در مورد مفهوم بعد بحث کرده و بر این حقیقت تأکید می‌کند که تناظر بین بازه‌ی و مربع واحد ، یک نگاشت پیوسته نبود.

کانتور بین سال‌های 1879 و 1884 ، یک سری 6 تایی مقاله در مجله « تاریخچه‌ی ریاضیات» (Mathematische Annalen ) را برای طرح ریزی مقدمات اساسی در نظریه‌ی اعداد، منتشر کرد . احتمالاً کلاین (Klein) تأثیر زیادی در " Mathematische Annalen " برای انتشار این مقالات داشته است. با ابن وجود در طی این سال‌ها مسائل زیادی وجود داشت که اثبات آن‌ها برا ی کانتور دشوار بود. اگرچه کانتور با توصیه‌ی هاینه ( hiene ) در سال 1879 تا حد یک استاد کامل ترفیع گرفته بود، اما او امیدوار بود در یک دانشگاه معتبرتر، مقامی داشته باشد. در سال 1880 مکاتبات طولانی او با شوارتز ( Schwarz ) پایان یافت، چرا که مخالفت‌های او با نظریات کانتور در حال افزایش بود و شوارتز دیگر کارهای کانتور را تأیید نمی‌کرد. هاینه در سال 1881 درگذشت و جایگزینی برای پر کردن پست او در هاله لازم بود.

کانتور لیستی سه نفری از ریاضی دانان برای جایگزینی پست هاینه ارائه کرد که پذیرفته شد. او ددکیند را در مکان اول و پس از او هنریک وبر ( Heinrech Weber ) و مرتنس ( Mertens ) را در آخر قرار داده بود. هنگامی که ددکیند در سال 1882 این پیشنهاد را رد کرد، ضربه‌ی سنگینی به کانتور وارد شد و ضربه‌ی بدتر این بود که وبر و مرتنس هم آن را نپذیرفتند. در لیست جدیدی که تهیه شد، وانگرین (Wangerin ) برای این پست انتخاب شده بود ولی او هرگز رابطه‌ی دوستانه‌ای با کانتور برقرار نکرد. پس از آن؛ در سال 1882 مکاتبات پربار بین کانتور و ددکیند، پایان یافت.

تقریباً همان زمانی که مکاتبات کانتور و ددکیند پایان یافت، او مکاتبات مهم دیگری را با میتگ-لفلر (Mittag-Leffler ) آغاز کرد. خیلی زود کارهای کانتور در مجله‌ی " ریاضیات آکتا " (Acta Mathematica ) که از آن میتگ-لفلر بود، شروع به انتشار شد، در حالی که سری مقاله‌ی شش گانه‌ی مهم کانتور در مجله " تاریخچه‌ی ریاضیات" هم موجود بود. همچنین پنجمین مقاله از این سری با نام Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre به عنوان یک مقاله‌ی مجزا چاپ شده بود که به دلایلی بسیار مهم بود. نخست این که کانتور متوجه شد که نظریه‌ی مجموعه‌هایش ، چنان که انتظار می‌رفت مورد پذیرش قرار نگرفت و این مقاله برای پاسخگویی به این انتقادها مطرح شده بود. دوم این که :

مهم ترین توفیق گراندلاگن (Grundlagen) ، نمایش اعداد ترامتناهی ِ (transfinite numbers) آن به عنوان یک گسترش مستقل و متقارن ِ اعداد طبیعی بود.

خود کانتور هم آشکارا در این مقاله بیان می‌کند که از شدت مخالفت‌ها با این عقاید آگاه است :

... « ... من متوجه شدم که با این کار خودم را در موقعیت ویژه‌ای در مقابل نگرش‌های بسیاری که در مورد ریاضیات است و در مقابل عقاید متعددی که ماهیت اعداد را اثبات می‌کرد، قرار دادم... »...

در اواخر ماه می سال 1884 ، برای نخیستین بار علائم بیماری افسردگی در کانتوردیده شد و مورد هجوم این بیماری قرار گرفت. او پس از چند هفته بهبودی یافت ولی به نظر می‌رسید اعتماد به نفسش کم شده است. در اواخر ژوئن به میتگ-لفلر نوشت :

...«... من نمی‌دانم که کی به ادامه‌ی کارهای علمی‌ام بپردازم . در این حال مطلقاً نمی‌توانم کاری در این مورد انجام دهم و خودم را به وظایف ضروری تری که در مورد سخنرانی‌ها دارم، محدود کنم؛ چقدر خوشحال بودم اگر می‌توانستم فعالیت علمی داشته باشم، ای کاش که آسودگی ذهنی لازم را داشتم.»...

زمانی تصور بر این بود که افسردگی‌اش به خاطر نگرانی‌های او در ریاضیات و به ویژه در نتیجه‌ی مشکلاتی که در رابطه‌اش با کرونیکر داشته به وجود آمده است. با این وجود، اخیراً با درک بهتری از بیماری او متوجه شدیم که حالا می‌توانیم مطمدن باشیم که نگرانی‌های ریاضی او و مشکلاتش در روابطش تأثیر زیادی در تشدید بیماری‌اش داشته‌اند اما علت ایجاد آن نبوده‌اند. کانتور بعد از این بیماری روانی در سال 1884 :

به منطقه‌ی کوهستانی مورد علاقه‌اش؛ هارز (Harz)، به تعطیلات رفت و به خاطر برخی دلایل تصمیم گرفت که دوباره با کرونیکر آشتی کند. کرونیکر آن را پذیرفت اما برای هر دوی آن‌ها سخت بود که دشمنی‌ها را فراموش کنند، اختلافات فلسفی بین آن‌ها به طور طبیعی وجود داشت.

نگرانی‌های ریاضی در این زمان برای کانتور مسأله ساز شد ، مخصوصاً این که نگران آن بود که نمی‌توانست فرضیه‌ی پیوستار را اثبات کند؛ در حقیقت فکر می‌کرد که آن را اشتباه اثبات کرده است و روز بعد اشتباهش را یافت. مجدداً تصور کرد که آن را درست اثبات کرده است ولی خیلی زود دوباره به اشتباهش پی برد.

در زمینه‌های دیگر هم کارها به خوبی پیش نمی‌رفت، میتگ-لفلر در سال 1885 کانتور را متقاعد کرد که یکی از مقالاتش را زمانی که به مرحله‌ی اثبات رسیده بود، از مجله‌ی « ریاضیات آکتا » پس بگیرد، چرا که فکر می‌کرد « ... خیلی جلوتر از زمان؛ حدود یکصد سال زودتر ارائه شده است». کانتور این را به شوخی گرفت ولی مطمئناً از آن رنجیده بود :

...« میتگ-لفلر روش خودش را دارد، یعنی من می‌بایست تا 1984 صبر کنم؟ این خواسته‌ی زیادی است که نمی‌توانم بپذیرم!... اما البته هرگز نمی‌خواهم دوباره چیزی در مورد گذشت زمان از « ریاضیات آکتا » بدانم.»....

میتگ-لفلر این را به مهربانی او تعبیر کرد اما این کار، عدم قدردانی از اهمیت کار کانتور را نشان می‌دهد. مدت زمان کوتاهی پس از این ماجرا، تمام مکاتبات کانتور با میتگ-لفلر پایان یافت و به نظر می‌رسید تمام نظریاتی که به ذهن کانتور خطور کرده بود و باعث پیشرفت سریع او در مورد نظریه مجموعه‌ها در این 12 سال شده بود، متوقف شده است.

کانتور در سال 1886 خانه‌ی خوبی در خیابان هندل خرید ، خیابانی که به نام آهنگساز آلمانی هندل (Handel) نامگذاری شده بود. قبل از اتمام این سال، پسری از وی به دنیا آمد که با به دنیا آمدنش خانواده‌ی شش فرزندی‌اش تکمیل شد. او ناگهان از پیشروی در نظریه مجموعه‌های ریاضی به دو بحث جدید دیگر تغییر مسیر داد، اول بحث‌هایی روی جنبه‌های فلسفی تئوری‌اش با بسیاری از فلاسفه ( که این نامه‌ها را در سال 1888 منتشر کرد) و دوم به عهده گرفتن نظریه‌ی کلبسچ (Clebsch) پس از مرگش، برای پیدا کردن Deutsche Mathematiker-Vereinigung که در سال 1890 به آن دست یافت. کانتور در سپتامبر 1891 ریاست اولین نشست انجمن هاله را به دست آورد و با وجود خصومت شدیدی که بین او و کرونیکر بود، وی را دعوت به سخنرانی در اولین نشست کرد.

کرونیکر در جلسه حضور نیافت چرا که همسرش در یک حادثه کوهنوردی در تابستان سال گذشته‌اش به شدت مجروح و مدتی پس از آن فوت کرده بود. کانتور در اولین جلسه به ریاست Deutsche Mathematiker-Vereinigung انتخاب شد و تا سال 1893 این مقام را داشت. وی می‌کوشید تا نشست انجمن را که در سپتامبر 1893 در مونیخ برگزار می‌شد را ساماندهی کند، اما قبل از نشست، دوباره بیمار شد و نتوانست در آن حضور یابد.

کانتور در سال 1894 یک مقاله‌ی نسبتاً عجیب را منتشر کرد که روشی را ثبت کرد که در آن همه‌ی اعداد زوج تا 1000 را می‌شد به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. از آنجا که تحقیقی روی حدس گلدبالخ ( Goldbach ) تا 10000 در 40 سال قبل انجام شده بود، به نظر می‌رسد این مقاله‌ی عجیب، بیشتر گویای حالت ذهنی ِ کانتور، بر آنچه درباره‌ی حدس گلدباخ انجام داده است، می‌باشد.

آخرین مقالات اصلی کانتور در نظریه مجموعه‌ها در سال‌های 1895 و 1897، مجدداً در مجله‌ی « تاریخچه‌ی ریاضیات » به سردبیری کلاین، دیده می‌شود و بررسی‌های ظریفی از حساب ترانسفینی هستند. فاصله‌ی نسبتاً طولانی بین این دو مقاله به خاطر این حقیقت است که اگرچه کانتور نوشتن بخش دوم مقاله را شش ماه پس از انتشار بخش اول به اتمام رساند، اما امیدوار بود تا اثباتی بر فرضیه‌ی پیوستار در بخش دوم بیاورد. با این حال چنین نشد اما دومین مقاله شامل نظریه‌اش در مجموعه‌های خوش ترتیب و اعداد ترتیبی می‌باشد.