18.1. عدد شگفت انگیز 1089 : قسمت دوم
مطلب شگفت انگیز دیگری را که می خواهیم درباره ی 1089 بیان کنیم، این گونه آغاز می کنیم.
1089 را به دو عدد 1 و 89 تجزیه می کنیم. جالب است بدانید اگر هر عدد ِ دلخواه را انتخاب کنیم و توان دوم ارقام آن را باهم جمع کنیم و این عمل را برای حاصلجمع ها تکرار کنیم، سرانجام به 1 یا 89 می رسیم. مثلا ً با انتخاب عدد 30 خواهیم داشت :
و اگر با عدد 31 آغاز کنیم :
در این روند، اگر به عدد 89 برسیم ، یا عدد 89 را از ابتدا انتخاب کنیم، و همچنان ادامه دهیم باز هم به عدد 89 می رسیم و هرگاه برای دومین بار به 89 رسیدیم، از آن به بعد در یک دور بین دو 89 گرفتار می شویم.
اما در این روند، هرگاه به عدد 1 برسیم، پس از آن همواره 1 ظاهر می شود :
در پایان این قسمت، اثباتی جبری بر بازی انتخاب عدد سه رقمی بیان می کنیم.
1. نخستی گام این بود که یک عدد سه رقمی ، با ارقام یکان و صدگان متفاوت ، انتخاب کنبم. اگر فرض کنیم sda ، این عدد سه رقمی باشد ، a و d و s هر کدام یک رقم از این عدد را تشکیل می دهند که عددی بین 0 و 9 هستند. می توانیم فرض کنیم s از a بزرگتر باشد. بنابراین عدد سه رقمی به صورت زیر خواهد بود :
2. در دومین گام باید برعکس عدد را به دست آوریم که در این حالت برعکس sda ، عدد ads است که به صورت زیر است :
3. اکنون بایستی تفاضل دو عدد را محاسبه کنیم . چون در گام نخست، s را از a بزرگتر گرفتیم، پس sda > ads و به محاسبه ی تفاضل زیر می پردازیم :
چون در رقم یکان ها داریم a < s ، پس باید بنابر قاعده ی تفاضل دو عدد، یک واحد از دهگان قرض بگیریم و به یکان 10 واحد بیافزاییم . بنابراین رقم یکان به صورت زیر محاسبه می شود :
حال نوبت به کم کردن دهگان ها می رسد. در این حالت نیز از صدگان یک واحد قرض گرفته و به دهگان ده واحد اضافه می کنیم :
و تفریق صدگان ها را انجام می دهیم تا تفاضل به دست آید :
4. در این گام می بایست برعکس ِ تفاضل را بیابیم . برعکس تفاضل چنین است :
5. گام پایانی نیز به جمع دو عدد اخیر می پرداخت. پس داریم :
که حاصل همان عدد شگفت انگیز 1089 است!!!...
