تعریف فضای برداری، مثال و تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف فضای برداری: فرض کنید که V مجموعه‌ای از بردارهاست که بر روی میدان F در نظر گرفته‌ایم. مجموعه‌ V بر روی میدان F، همراه با دو عمل دوتایی جمع برداری و ضرب اسکالر که به صورت زیر تعریف می‌شود:

\(\forall v , w \in V ⇒ v+w \in V\)

\(\forall v \in V , c \in F ⇒ cv \in V\)

را یک فضای برداری یا فضای خطی گویند، هرگاه در شرایط زیر صدق نماید:

۱. عمل دوتایی جمع دارای خاصیت جابه‌جایی است، یعنی داریم:

\(\forall ‎a,b ‎\in V‎ ‌‎\longrightarrow ‎a+b =‎ ‎b+a\)‌‌‎

۲. عمل دوتایی جمع شرکتپذیر است، یعنی داريم: 

‎\( ‎\forall ‎a,b‎,c \in V ‎\longrightarrow ‎(a+b)+c =‎ ‎a+(b+c)‎ \)‌‌‌‌‌‎

‏۳. بردار یکتای صفری در V‌‌‎ موجود است، به طوری که به ازای هر ‌‎\( ‎a\in v ‌‌‌‎\)‌‎ ، داریم:

‎\( ‎a+0 = ‎0+a ‎=a ‌‎\)‌‎

‏۴. به ازای هر بردار ‎\(‎ a ‌‎\in V ‌‌‌‎\)‌‌‏ ، بردار یکتای ‌‎\( b‎ ‎\in V \)‌‌‌‎ موجود است. به قسمی که داریم:

‎\( ‎a+b =‎ ‎b+a =‎ 0 ‌‌‌‎\)‌‎ 

۵. به ازای هر ‎\(‎ a‎ ‎\in V ‌‌‌‎\)‌‌‏ ، داریم:

‎\(‌‌‎1a = a ‎\)‌‌‎

۶. به ازای هر ‎\( ‎c‎_{1},c_{2} ‎\in F ‌‌‌‎\)‌‌‏ و ‌‎\( a‎ ‎\in ‎V‎ ‌‎\)‎ ، داریم:

‎\( ‎(c_{1}c_{2})a =‎ ‎c_{1}(c_{2}a) ‌‎\)‎


‏مثال. فرض کنید که \(V= \{(v_1 , ... , v_n) | v_i \in \mathbb{R} , 1 \leq i \leq n \}\) ‏ مجموعه‌ تمام ‎n‌‏تایی مرتب‌ها بر روي‎ میدان اعداد حقیقی F‌‌ باشد. دو عمل دوتايي جمع برداري و ضرب اسكالري را به صورت زير تعريف مي‌كنيم: 

\( ‌‎(v_{1} ,‎ ‎... ,‎ ‎v_{n}) +‎ ‎(w_‎‎{1} ,‎ ‎... , ‎w_{n}) =‎ ‎(v‎_{1} +‎ w_‎‎{1} ,‎ ‎... ,‎ ‎v_{n}+w_{n}) ‌‎\)‌‎

‎\( ‎k(v_{1} ,‎ ‎... ‎v_{n}) = (‎kv_{1}, ‎... ,‎ ‎kv_{n}) ‌‎\)‌‎

در اینصورت مجموعه‌ V همراه ميدان F تشکیل یک فضای برداری خواهد داد.

برای اثبات این موضوع کافی است ثابت کنید که V نسبت به عمل دوتایی جمع برداری و ضرب اسکالر روی میدان F دارای خاصیت‌های ذکر شده در تعریف می‌باشد. لذا داریم:

۱. عمل دوتایی جمع دارای خاصیت جابه‌جایی است، یعنی داریم:

\((v_1 , ... , v_n) + (w_1 , ... , w_n)=(v_1+w_1 , ... , v_n+w_n)= (w_1 , ... , w_n)+ (v_1 , ... , v_n)\)

۲. عمل دوتایی جمع شرکتپذیر است، یعنی داريم: 

\((v_1 , ... , v_n) + ((w_1 , ... , w_n) + (z_1 , ... , z_n)) = (v_1 + (w_1 + z_1) , ... , v_n + (w_n + z_n)) = ((w_ 1 , ... , w_n) + (v_1 , ... , v_n)) + (z_1 , ... , z_n)\)

‏۳. بردار یکتای صفری در V‌‌‎ موجود است، به طوری که به ازای هر \((v_1 , ... , v_n)\) ‏بگیریم‏، داریم:

\((v_1 , ... , v_n) + (0 , ... , 0)= (v_1 + 0 , ... , v_n + 0)=(v_1 , ... , v_n)\)

‏۴. به ازای هر بردار \( (v_1 , ..., v_n) \in V\)‏ بگیریم، بردار یکتای \((w_1 , ..., w_n) \in V\) موجود است. به قسمی که داریم:

\(‌(v_1 , ... , v_n)+(w_1 , ... , w_n) =(0 , ... , 0)\)

کافی است که \((w_1 , ... , w_n) = (-v_1 , ... , -v_n)\) در نظر بگیریم. 

برای شرط پنجم که با در نظر گرفتن اسکالر ۱، حکم را می‌توان برقرار نمود. شرط آخر را به عنوان تمرین بررسی کنید. با برقراری تمام این شرایط فضای برداری بیان شده همراه با میدان اعداد حقیقی تشکیل یک فضای برداری را خواهد داد. 


تمرین ۱. فضای ‎\(‎ V‎ =‎ \{‎ ‎x+iy | ‌‎x,y ‎\in \mathbb{R‎} ,‎ i‎^2 \mathbb{R‎} \} ‌‌‎\)‌‌‏ را همراه با میدان F‌‌‎ که اعداد مختلط می‌باشد را در نظر بگیرید. آیا این  مجموعه‌ همراه با دو عمل دوتایی زیر تشکیل یک فضای برداری را می‌دهد؟ 

\( ‌‎(x+iy) +‎ ‎(h+ix) =‎ ‎(x+h) ‎+i(x+y) ‌‎\)‌‎

‎\( ‎a(x +‎ ‎iy) =‎ ‎ax+iay ‌‎\)‌‎


‏تمرین ۲. مجموعه‌ {تمام توابع حقیقی}=V بر روی میدان اعداد حقیقی را در نظر بگیرید. دو عمل دوتایی زیر را بر روی مجموعه‌ V همراه میدان F به گونه زیر تعریف می‌کنیم: 

‎\(‌‎ ‎(f+g)(x) =‎ ‎f(x) +‎ ‎g(x) ‌‎\)‌‎

‎\( ‎c(f(x)) =‎ ‎(cf)(x) ‌‎\) ‌‎


‏تمرین ۳. ثابت کنید فضای توابع چندجمله‌ای از مرتبه ‎n‌‏ همراه با میدان اعداد حقیقی تشکیل یک فضای برداری همراه با دو عمل دوتایی تعریف شده به صورت زیر را می‌دهد.

\(‌‎ ‎f(x) + ‎g(x) =(a_0 + a_1 x+ ...+ a_n x^n ‌‎) + (b_0 + b_1 x + ... + b_n x^n) = (a_0 + b_0 )+(a_1 + b_1)x  + ... + (a_n + b_n) x^n\)‌‎

‎\( ‎cf(x) ‌= c(a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n) = ca_0 + ca_1 x+ ... + ca_n x^n‎\)‌‎

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (223)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (158)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (444)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (743)
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم...
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ بازدید (487)
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانش...

فایل های تصادفی

جزوه کنترل بهینه و حساب تغییرات دکتر فراهی جزوه کنترل بهینه و حساب تغییرات دکتر فرا... بازدید (10405)
جزوه درس کنترل بهینه و حساب تغییرات دکتر...
کتاب سفر به شهر ریاضی دکتر میرزاوزیری کتاب سفر به شهر ریاضی دکتر میرزاوزیری... بازدید (839)
کتاب سفر به شهر ریاضی دکتر میرزاوزیری...
پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل صنعتی امیرکبیر دی ماه 1382 پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل ... بازدید (7141)
جواب تشریحی کامل پایان ترم معادلات دیفرا...
پاسخ تشریحی آزمون آنالیز حقیقی دانشگاه آزاد واحد خوراسگان استاد علامه 13881104 پاسخ تشریحی آزمون آنالیز حقیقی دانشگاه آ... بازدید (6323)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات درس آنالیز حقیق...
پاسخنامه آزمون پایانترم ریاضی عمومی 2 فنی دانشگاه شاهرود 13950329 پاسخنامه آزمون پایانترم ریاضی عمومی 2 فن... بازدید (8384)
پاسخ سوالات آزمون پایانترم ریاضی عمومی 2...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (27717)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (21558)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (20567)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (18844)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (18423)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا