تعریف فضای برداری، مثال و تمرین
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف فضای برداری: فرض کنید که V مجموعه‌ای از بردارهاست که بر روی میدان F در نظر گرفته‌ایم. مجموعه V بر روی میدان F، همراه با دو عمل دوتایی جمع برداری و ضرب اسکالر که به صورت زیر تعریف می‌شود:
\(\forall v , w \in V ⇒ v+w \in V\)
\(\forall v \in V , c \in F ⇒ cv \in V\)
را یک فضای برداری یا فضای خطی گویند، هرگاه در شرایط زیر صدق نماید:
۱. عمل دوتایی جمع دارای خاصیت جابه‌جایی است، یعنی داریم:
\(\forall a,b \in V \longrightarrow a+b = b+a\)
۲. عمل دوتایی جمع شرکتپذیر است، یعنی داريم:
\( \forall a,b,c \in V \longrightarrow (a+b)+c = a+(b+c) \)
۳. بردار یکتای صفری در V موجود است، به طوری که به ازای هر \( a\in v \) ، داریم:
\( a+0 = 0+a =a \)
۴. به ازای هر بردار \( a \in V \) ، بردار یکتای \( b \in V \) موجود است. به قسمی که داریم:
\( a+b = b+a = 0 \)
۵. به ازای هر \( a \in V \) ، داریم:
\(1a = a \)
۶. به ازای هر \( c_{1},c_{2} \in F \) و \( a \in V \) ، داریم:
\( (c_{1}c_{2})a = c_{1}(c_{2}a) \)
مثال. فرض کنید که \(V= \{(v_1 , ... , v_n) | v_i \in \mathbb{R} , 1 \leq i \leq n \}\) مجموعه تمام nتایی مرتب‌ها بر روي میدان اعداد حقیقی F باشد. دو عمل دوتايي جمع برداري و ضرب اسكالري را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:
\( (v_{1} , ... , v_{n}) + (w_{1} , ... , w_{n}) = (v_{1} + w_{1} , ... , v_{n}+w_{n}) \)
\( k(v_{1} , ... v_{n}) = (kv_{1}, ... , kv_{n}) \)
در اینصورت مجموعه V همراه ميدان F تشکیل یک فضای برداری خواهد داد.
برای اثبات این موضوع کافی است ثابت کنید که V نسبت به عمل دوتایی جمع برداری و ضرب اسکالر روی میدان F دارای خاصیت‌های ذکر شده در تعریف می‌باشد. لذا داریم:
۱. عمل دوتایی جمع دارای خاصیت جابه‌جایی است، یعنی داریم:
\((v_1 , ... , v_n) + (w_1 , ... , w_n)=(v_1+w_1 , ... , v_n+w_n)= (w_1 , ... , w_n)+ (v_1 , ... , v_n)\)
۲. عمل دوتایی جمع شرکتپذیر است، یعنی داريم:
\((v_1 , ... , v_n) + ((w_1 , ... , w_n) + (z_1 , ... , z_n)) = (v_1 + (w_1 + z_1) , ... , v_n + (w_n + z_n)) = ((w_ 1 , ... , w_n) + (v_1 , ... , v_n)) + (z_1 , ... , z_n)\)
۳. بردار یکتای صفری در V موجود است، به طوری که به ازای هر \((v_1 , ... , v_n)\) بگیریم، داریم:
\((v_1 , ... , v_n) + (0 , ... , 0)= (v_1 + 0 , ... , v_n + 0)=(v_1 , ... , v_n)\)
۴. به ازای هر بردار \( (v_1 , ..., v_n) \in V\) بگیریم، بردار یکتای \((w_1 , ..., w_n) \in V\) موجود است. به قسمی که داریم:
\((v_1 , ... , v_n)+(w_1 , ... , w_n) =(0 , ... , 0)\)
کافی است که \((w_1 , ... , w_n) = (-v_1 , ... , -v_n)\) در نظر بگیریم.
برای شرط پنجم که با در نظر گرفتن اسکالر ۱، حکم را می‌توان برقرار نمود. شرط آخر را به عنوان تمرین بررسی کنید. با برقراری تمام این شرایط فضای برداری بیان شده همراه با میدان اعداد حقیقی تشکیل یک فضای برداری را خواهد داد.
تمرین ۱. فضای \( V = \{ x+iy | x,y \in \mathbb{R} , i^2 \mathbb{R} \} \) را همراه با میدان F که اعداد مختلط می‌باشد را در نظر بگیرید. آیا این مجموعه همراه با دو عمل دوتایی زیر تشکیل یک فضای برداری را می‌دهد؟
\( (x+iy) + (h+ix) = (x+h) +i(x+y) \)
\( a(x + iy) = ax+iay \)
تمرین ۲. مجموعه {تمام توابع حقیقی}=V بر روی میدان اعداد حقیقی را در نظر بگیرید. دو عمل دوتایی زیر را بر روی مجموعه V همراه میدان F به گونه زیر تعریف می‌کنیم:
\( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \)
\( c(f(x)) = (cf)(x) \)
تمرین ۳. ثابت کنید فضای توابع چندجمله‌ای از مرتبه n همراه با میدان اعداد حقیقی تشکیل یک فضای برداری همراه با دو عمل دوتایی تعریف شده به صورت زیر را می‌دهد.
\( f(x) + g(x) =(a_0 + a_1 x+ ...+ a_n x^n ) + (b_0 + b_1 x + ... + b_n x^n) = (a_0 + b_0 )+(a_1 + b_1)x + ... + (a_n + b_n) x^n\)
\( cf(x) = c(a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n) = ca_0 + ca_1 x+ ... + ca_n x^n\)
