قضایای ناتمامیت گودل
رای دهی: 5 / 5
پس از مدتی دريافتم که اين موضوع توسط رياضيدانی به نام «کورت گودل» به اثبات رسيده است. اين قضيه به «قضيه ناتماميت گودل» مشهور است. گودل در زمان اثبات اين قضيه يک جوان 25 ساله بود. او نشان داد که «تقريباً در تمام نظريه‌های رياضی گزاره‌های درستی يافت می‌شوند که اين گزاره‌ها تصميم ناپذيرند».
گزارهای تصميم ناپذير ناميده می‌شود که آن نظريه نه بتواند آن را اثبات و نه آن را رد کند. شرايطی که برای نظريه‌ها وجود دارد آن است که سازگار باشند و به نحوی اعداد طبيعی را قبول داشته باشند. سازگاری به آن معنی است که به تناقض نرسند. قطعاً هر نظريه متناقض هر چيزی را میتواند ثابت کند، بنابراين شرط «سازگاری» اهميت خاصی دارد.
گودل پس از اين قضيه ناتماميت، ثابت کرد که «يکی از چيزهایی که يک نظريه سازگار (با شرايط مذکور) نمی تواند ثابت کند، سازگاری خودش است». اين قضيه با نام «قضيه دوم گودل» شناخته می‌شود. فرض کنيم نظريه‌ای با شرايط فوق را K بناميم. «سازگاری يعنی نرسيدن به تناقض» فرضی که برای اين نظريه K در نظر گرفته شده است، لذا طبق قضيه دوم گودل K نمی‌تواند سازگاری خود را ثابت کند. به بيان ديگر K نمی‌تواند ثابت کند که هيچگاه به تناقض نخواهد رسيد. يعنی گزارهای درستی وجود دارد که K نمی‌تواند آن را ثابت کند و يکی از مهمترين اين گزاره‌ها درستی خودش است.
اجازه دهيد بيانی ديگر از قضيه دوم گودل ارائه دهيم: «اگر نظريه‌ای بتواند سازگاری (درستی) خود را ثابت کند، آن نظريه ناسازگار (نادرست) است.»
درک کامل قضيه ناتماميت و قضيه دوم گودل میتواند بنيان فکری بسياری از نظريه‌های فلسفی را فرو بريزد. حداقل اين رويداد در مورد مکتب فلسفی Positivism اتفاق افتاده است. لذا اين قضيه در فلسفه مورد توجه است. (کمی بیاندیشید و با ثبت نظر، ما را نیز در جریان تفکرات خود قرار دهید)
در اين گفتار دائم از «نظريه» سخن گفتيم اما نگفتيم که نظريه چيست؟ در ادامه مفهوم نظریه را با مثالهایی بیان خواهیم کرد.
