معادله دیفرانسیل همگن
به نام خدا
الـهم صل علي مـحمد و آل محـمد
براي اينکه بدانيم معادلات ديفرانسيل همگن چه معادله ايست، ابتدا بايستي توابع همگن را بشناسيم و با برخي از ويژگي هاي آن آشنا شويم. در اين درس ابتدا به معرفي تابع همگن مي پردازيم و سپس معادله همگن را تعريف کرده و به چگونگي حل آن ها مي پردازيم.
تعريف تابع همگن:
تابع را تابع همگن ِ مرتبه ي n گوييم هرگاه براي هر t، داشته باشيم
البته بايد به خاطر داشته باشيم که تابع f ، در نقاط x و tx ، تعريف شده باشد.
تابع نمونه اي از تابع همگن مرتبه 2 است زيرا براي هر tx ، t در دامنه ي f است و داريم :
تابع همگن براي توابع چند متغيره نيز تعريف مي شود. چون در اين درس، بيشتر با توابع دو متغيره سر و کار داريم ، تعريف تابع همگن دو متغيره را نيز بيان مي کنيم.
تعريف تابع همگن دو متغيره:
تابع را تابع همگن ِ مرتبه ي n گوييم هرگاه براي هر t داشته باشيم
به شرط اينکه نقاط در دامنه ي تابع باشند.
ويژگي هاي تابع همگن:
اگر توابع و ، همگن مرتبه ي n باشند، آنگاه توابع همگن مرتبه ي n و تابع همگن مرتبه ي 2n و تابع ، با شرط ، همگن مرتبه ي صفر است.
اثبات اين ويژگي ها ساده است و تنها با بکار بردن تعريف به دست مي آيد. براي نمونه نشان مي دهيم که تابع خارج قسمت، همگن مرتبه ي صفر است.
اکنون آمادگي پذيرش مفهوم معادله ديفرانسيل ِ همگن هستيم :
تعريف معادله ديفرانسيل همگن:
اگر توابع ، در معادله ديفرانسيل مرتبه اول ِ
توابعي همگن ِ همدرجه ، مثلا ً از درجه ي n باشند، آنگاه گوييم معادله معادله ديفرانسيل همگن مرتبه ي n است.
اين تعريف همسنگ تعريف زير است :
معادله ي
يک معادله ديفرانسيل همگن است اگر تابع ، همگن از درجه ي صفر باشد.
نکته 2.2: هر تابع ثابت، يک تابع همگن از مرتبه ي صفر است ولي عکس آن درست نيست. يعني توابع همگن مرتبه ي صفر ، لزوما ً ثابت نيستند. براي نمونه تابع
همگن مرتبه ي صفر است که ثابت نيست.
چگونگي حل معادله همگن:
معادلات همگن ، با يک تغيير متغير مناسب ، به معادلات جداپذير تبديل مي شوند. پس مي توانستيم اين معادلات را در دسته ي معادلات جداپذير شدني قرار دهيم؛ اما چون معادلات همگن شکل ونام ويژه اي دارند و حتي دسته اي از معادلات همگن شدني هستند، آن ها را جداگانه بررسي مي کنيم.
معادله همگن را در نظر بگيريد. به ياد داريم که تابع ، همگن از مرتبه ي صفر است. پس براي هر t داريم :
اکنون اگر به t مقدار ويژه ي را نسبت دهيم ، يعني قراردهيم ، معادله ي به صورت زير تبديل مي شود:
اکنون تغيير متغير را انتخاب مي کنيم. داريم :
و همچنين
اکنون در رابطه ي ، از رابطه هاي و مقدار مي گذاريم :
که معادله ي ، يک معادله جداپذير استاندارد بر حسب x و z است که در قسمت هاي قبل چگونگي حل آن را آموختيم. پس از حل به جاي z ، مقدار آن يعني را قرار مي دهيم و معادله حاصل را مرتب مي کنيم.
به مثال زير توجه کنيد.
مثال 9.2: ابتدا نشان دهيد معادله ي يک معادله همگن است و سپس جواب عمومي آن را بيابيد.
حل: در اين مثال و هر دو ، توابعي همگن مرتبه ي اول هستند، پس معادله داده شده همگن است.
با قرار دادن داريم:
و y = z x ، پس:
بنابراين:
اکنون قرار مي دهيم :
که اين جواب عمومي معادله داده شده است.