سری مک‌لورن

مقطع تحصیلی: کارشناسی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

سری مک‌لورن ( Maclaurin Series ) چیست؟

سری مک‌لورن همان سری تیلور حول نقطه \( x=0 \) است. بنابراین تعریف زیر را برای آن خواهیم داشت:

تعریف سری مک‌لورن:

فرض کنید \( f(x) \) یک تابع حقیقی است که در نقطه \( x = 0 \)‌ بی‌نهایت بار مشتق پذیر می‌باشد. سری مک‌لورن تابع \( f(x) \)  را در نقطه‌ی \( x = 0 \) به صورت زیر ارائه می‌دهد:

\( \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} = f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!} + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \)

که به آن سری مک‌لورن تابع \( f(x) \)‌ می‌گوییم.

توجه داشته باشید که در فرمول بالا، \( f^{(n)} (0) \) به معنی مشتق  \( n \)‌م تابع \( f(x) \)  در نقطه‌ی \( x = 0 \) است.

به سری مک‌لورن، بسط مک‌لورن نیز گفته می‌شود.

روش محاسبه سری مک‌لورن:

برای محاسبه سری مک‌لورن یک تابع، ابتدا مقدار تابع را در نقطه \( x=0 \) به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول بالا جایگذاری کرده و بسط مک‌لورن تابع به دست خواهد آمد.

اکنون با یک مثال به خوبی روش کار را ببینیم.

مثال: بسط مک‌لورن تابع \( \cos x \) را به دست آورید.

حل: در این مثال \( f(x) = \cos x \). ابتدا مقدار تابع در این نقطه را محاسبه می کنیم و سپس مشتقات تابع را در این نقطه حساب می‌کنیم.

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f (0) = \cos (0) = 1 \)

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = - \sin (x)  \Longrightarrow f^{\prime} (0) = - \sin (0) = 0 \)

\( f^{\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \cos (x)  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = - \cos (0) = -1 \)

\( f^{\prime\prime}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  \sin (x)  \Longrightarrow f^{(3)} (0) =  \sin (0) = 0 \)

\( f^{(3)}(x) = \sin (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) =  \cos (x)  \Longrightarrow f^{(4)} (0) =  \cos (0) = 1 \)

و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( x = 0 \)  به صورت زیر تکرار خواهد شد:

\(  f^{(5)} (0) = 0  , f^{(6)} (0) = -1  , f^{(7)} (0) = 0  , f^{(8)} (0) = 1  , f^{(9)} (0) = 0  , \cdots  \)

بنابراین سری مک‌لورن تابع \( \cos x \) با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

\( \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!}  + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\  &= 1 +  0 \times x - 1 \times \frac{x^{2}}{2!}  + 0 \times \frac{x^{3}}{3!} + 1 \times \frac{x^{4}}{4!} + 0 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad - 1 \times \frac{x^{6}}{6!} + 0 \times \frac{x^{7}}{7!} + 1 \times \frac{x^{8}}{8!} + 0 \times \frac{x^{9}}{9!} - \cdots  \\ & = 1 -\frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} +\frac{x^{8}}{8!} - \cdots  \end{align*} \)

این چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع \( \cos x \) می‌باشد. هرچه تعداد مراتب مشتق را بیشتر کنیم، دقت تخمین سری بیشتر خواهد شد و منحنی چندجمله‌ای بر منحنی تابع منطبق‌تر خواهد شد. نمودار این چندجمله‌ای را به ازای درجه‌های مختلف در زیر مشاهده می‌کنید.

نمودار سری تیلور تابع کسینوس حول نقطه x=0 در سایت ریاضیات ایران

 

تمرین ۱: سری مک‌لورن تابع \( f(x) = \tan x \) بیابید.

تمرین ۲: سری مک‌لورن تابع \( f(x) = \cot x \) بیابید.

در مطالب بعدی، سری مک‌لورن تعدادی از توابع خاص را با هم محاسبه خواهیم کرد. با ما همراه باشید.

نظرات (0)

امتیاز 0 خارج از 5 بر اساس 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط فازی با رویکرد برش الفا در بهینه سازی تابع هدف به همراه کد گمز Gams پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط فازی با رویکرد برش الفا در بهینه سازی تابع هدف به همراه کد گمز Gams بازدید (263)
پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط...
کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل نقلیه خودران به همراه کد متلب کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل نقلیه خودران به همراه کد متلب بازدید (324)
کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل ن...
 حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل پنجم حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل پنجم بازدید (1018)
حل کلیه تمرینهای فصل پنجم کتاب ریاضی عمو...
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی بازدید (587)
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دکتر ...
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی بازدید (569)
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دکتر د...

فایل های تصادفی

کتاب حلقه توابع پیوسته دکتر استاجی کتاب حلقه توابع پیوسته دکتر استاجی... بازدید (12278)
کتاب حلقه توابع پیوسته دکتر استاجی عضو ه...
جزوه جبر یک دکتر عین اله زاده دانشگاه صنعتی شریف ترم اول 1396 جزوه جبر یک دکتر عین اله زاده دانشگاه صن... بازدید (17949)
جزوه جبر یک دکتر عین اله زاده دانشگاه صن...
جزوه روش های عددی در جبرخطی، امینی خواه، گیلان جزوه روش های عددی در جبرخطی، امینی خواه،... بازدید (17175)
جزوه تایپ شده درس روش های عددی در جبر خط...
پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل صنعتی امیرکبیر 13881023 پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل ... بازدید (14844)
جواب تشریحی کامل پایان ترم معادلات دیفرا...
کلید آزمون ریاضی 1 رشته زمین شناسی پیام نور نیم سال اول 90-91 کلید آزمون ریاضی 1 رشته زمین شناسی پیام ... بازدید (17191)
نام درس : ریاضی 1 ، دانشگاه : پیام نور، ...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (68877)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (38345)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (35845)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (32468)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (32337)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها با وبگذر

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا