گروه آبلی
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
رای دهی: 5 / 5
گروه آبلی: گروه \(G\) همراه با عمل دوتایی * یک گروه آبلی گوییم هرگاه عمل دوتایی جابه‌جایی باشد یعنی در شرط زیر صدق کند
\(a,b \in G\) داشته باشیم:
\( a*b = b*a\)
مثال ۱. نشان دهید که مجموعه \(\mathbb{Z}\) نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است.
ابتدا نشان می دهیم مجموعه \(\mathbb{Z}\) نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه است، زیرا در شرایط زیر صدق مي‌کند:
۱. به ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z} \) بگیریم، مجموع دو عدد صحیح، عددی صحیح است. لذا \( a+b \in \mathbb{Z}\) می‌باشد.
۲. به ازای هر \(a,b,c \in \mathbb{Z} \) بگیریم، خاصیت شرکت پذیری بر روی اعداد صحیح برقرار است، یعنی داریم:
\( (a+b)+c = a+(b+c)\)
۳. عضوی چون صفر بر روی مجموعه \(\mathbb{Z}\) موجود است، به قسمی که برای هر عضو \( a \in \mathbb{Z}\) بگیریم، داریم:
\(a+0 = 0+a =a \)
۴. به ازای هر عضو \( a \in \mathbb{Z}\) بگیریم، عضوی چون \( -a \in \mathbb{Z} \) موجود است، به قسمی که داریم:
\(a+(-a) = (-a)+a = 0\)
لذا با توجه به شرایط بالا، مجموعه \(\mathbb{Z}\) نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه است. حال برای اثبات آبلی بودن این گروه برای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) داریم:
\(a+b=b+a\)
پس شرط پنجم و جابجایی بودن عمل دوتایی نیز برقرار است لذا گروه آبلی است.
تمرین ۱. آیا مجموعه ماتریس‌های \( 2 \times 2 \) همراه با عمل دوتایی ضرب ماتریسی یک گروه آبلی است؟
تمرین ۲. مجموعه \( G = \{ a^{n} | n \in \mathbb{Z} \} \) که در آن \(a \in \mathbb{Z} \) ثابت است، را در نظر بگیرید. عمل دوتایی را بر روی این مجموعه به شکل زیر تعریف می‌کنیم:
\( \forall n,m \in \mathbb{Z}, a^{n} * a^{m} = a^{n+m}\)
آیا این مجموعه همراه با این عمل دوتایی یک گروه آبلی است؟
تمرین ۳. آیا مجموعه \( G = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in \mathbb{R} \} \) همراه با عمل دوتایی جمع ماتریس‌ها یک گروه آبلی است؟
