ویژگی‌های مزدوج ماتریس: برای ماتریس‌های مزدوج ویژگی‌های زیر را داریم:

ویژگی ۱. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس \(m \times n\) باشد. در اینصورت داریم:

\(\overline{\overline{A}} = A\)

یعنی مزدوج، مزدوج یک ماتریس با خود ماتریس برابر است.

مثال ۱. فرض کنید که \(A = \begin{bmatrix} i & 2i \\ 5i+1 & 3i \end{bmatrix}\) باشد. در اینصورت نشان دهید که \(\overline{\overline{A}} = A\) خواهد بود.

\(A = \begin{bmatrix} i & 2i \\ 5i+1 & 3i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A} = \begin{bmatrix} -i & -2i \\ 1-5i & -3i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{ \overline{A}} = \begin{bmatrix} i & 2i \\ 5i+1 & 3i \end{bmatrix}\)

که در اینصورت \(\overline{\overline{A}} = A\) می‌باشد.

ویژگی ۲. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس \( m \times n\) و \(k\) یک عدد مختلط باشد. در اینصورت داریم:

\(\overline{kA} = \overline{k} . \overline{A}\)

مثال ۲. فرض کنید که \(A\) یک ماتریسی باشد که به صورت زیر تعریف شده است و \(k =2i\) باشد. ویژگی ۲ را نشان دهید.

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2i \\ -4i & 0 \end{bmatrix}\)

⇒  \(\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 4i & 0 \end{bmatrix}\)

⇒ \(kA = \begin{bmatrix} 2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{kA} = \begin{bmatrix} -2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}\)

⇒ \(k=2i \rightarrow \overline{k} = -2i\)

⇒ \(\overline{kA} = \begin{bmatrix} -2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}\)

⇒ \(\overline{k} . \overline{A} = (-2i) . \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 4i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}\)

در نتیجه \(\overline{kA} = \overline{k} . \overline{A}\)

ویژگی ۳. فرض کنید که \(A\)  و \(B\) دو ماتریس \( m \times n\) باشند. در اینصورت داریم:

\(\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}\)

تمرین ۱. فرض کنید که \(A\) و \(B\)  ماتریسهایی به شکل زیر باشند. ویژگی ۳ را برای حالت‌های مختلف  \(A\) و \(B\) محاسبه کنید.

۱. \( A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{2i+1}{1+i} \\ \frac{3i}{1+2i} & 0 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 5i(5i+1) & 0 \\ 2(1+i) & 0 \end{bmatrix}\)

۲. \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & i+1 \\ 2i & 3i & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} \frac{1+i}{2i} & 0 & \frac{1+5i}{2i} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5i & 3i \end{bmatrix}\)

ویژگی ۴. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس از مرتبه \( m \times n\) و \(B\) یک ماتریس از مرتبه \( n \times k\) باشند. در اینصورت داریم:

\( \overline{AB} = \overline{A} \overline{B} \)

تمرین ۲. فرض کنید که \(A\) و \(B\)  ماتریسهایی به شکل زیر باشند. در اینصورت ویژگی‌ ۴ را برای آنها بررسی کنید.

\( A = \begin{bmatrix} i & 2i+5 \\ 3i\sqrt{2} & 7i \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} (i+1)^2 & 3i \\ 2i & 5 \end{bmatrix}\)

\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & i+1 \\ 2 & i & i+1 \\ 2 & 3i & 3i(3i+1) \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5i \\ 2i & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

ویژگی ۵. فرض کنید که \(A\) یک  ماتریس \( m \times n\) باشد. در اینصورت داریم:

\(\overline{A^t} = \overline{A}^t\)

مثال ۳. فرض کنید که \(A\) یک  ماتریس به شکل زیر باشد. ویژگی ۵ را بررسی کنید.

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2i & 5 \\ 3i & 7i+1 & 5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2i & 5 \\ -3i & 1-7i & -5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A}^t = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ -2i & 1-7i \\ 5 & -5i \end{bmatrix}\)

\( A^t = \begin{bmatrix} 1 & 3i \\ 2i & 1+7i \\ 5 & 5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline {A^t} = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ -2i & 1-7i \\ 5 & -5i \end{bmatrix}\)

در نتیجه \( \overline{A^t} = \overline{A}^t\) خواهد بود.

تمرین ۳. برای ماتریسهای زیر و اسکالر \( k = 2i-1\) تمام ویژگی های ۱ تا ۵ را بررسی کنید.

\( A = \begin{bmatrix} i & 5 & i+1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

\( B = \begin{bmatrix} i & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 5i-1 \\ 2i & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

مزدوج ماتریس: فرض کنید که \(A\) یک ماتریس از مرتبه \( m \times n\) باشد. ماتریسی که از مزدوج کردن تک تک درایه‌های ماتریس \(A\) حاصل می‌شود، را مزدوج ماتریس \(A\) گویند. به عبارت دیگر فرض کنید \(A = [a_{ij}]\) باشد. در اینصورت مزدوج ماتریس \(A\) را با نماد \(\overline{A} = [b_{ij}]_{m \times n}\) نمایش می‌دهند، که رابطه زیر بین درایه‌های \(A\) و  \(\overline{A}\) برقرار می‌باشد:

\(b_{ij} = \overline{a_{ij}}\)

مثال ۱. مزدوج ماتریس‌های زیر را محاسبه کنید.

۱. \(A = \begin{bmatrix} 1 & 5i & i \\ 2 & 0 & i+1 \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & -5i & -i \\ 2 & 0 & 1-i \end{bmatrix}\)

۲. \(B = \begin{bmatrix} 5i+3 & 2i+1 \\ 3i+7 & 5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{B} = \begin{bmatrix} 3-5i & 1-2i \\ 7-3i & -5i \end{bmatrix}\)

تمرین ۱. مزدوج ماتریس‌های زیر را بدست آورید.

۱. \(A = \begin{bmatrix} 1 & i & 2i+1 \\ \frac{5i+1}{2i} & 0 & \frac{2i+1}{3i} \end{bmatrix}\)

۲. \(B = \begin{bmatrix} 1+ \sqrt{2i} & 5 \\ 0 & (3i+5)(2i+1) \end{bmatrix}\)

مزدوج یک عدد مختلط: فرض کنید که \(p= a + ib \) یک عدد مختلط باشد. مزدوج مختلط این عدد را به گونه زیر تعریف می‌کنیم:

\( \overline{p} = a - ib \)

که عبارت فوق، از تغییر علامت قسمت موهومی عدد مختلط \(p\) به دست می‌آید. مزدوج مختلط عدد \(p\) را با نماد \( \overline{p}\) نمایش می‌دهند. 

برای نمایش هندسی یک عدد مختلط، دستگاه مختصات زیر را در نظر بگیرید. در واقع در صفحه مختلط، مزدوج عدد مختلط p، قرینه نقطه متناظر با آن عدد بر روی صفحه مختلط، نسبت به محور xها می‌باشد.

با توجه به تعریف فوق می‌توان دریافت که اعداد حقیقی دارای مزدوج مختلطی برابر با خودشان ‌می‌باشند، زیرا هر عدد حقیقی a را می‌توان به صورت زیر نمایش داد:

\( p = a+i0 \)

چون در عبارت فوق، قسمت موهومی صفر است، لذا مزدوج مختلط این عدد هیچ تغییری نمی‌کند. پس داریم:

 \( \overline {p} = p \) 

پس در نهايت نكته زير را خواهيم داشت:

نکته ۱. هر عددی که خودش با مزدوجش برابر باشد، حتما یک عدد حقیقی است.

مثال۱. مزدج مختلط اعداد زیر را بدست آورید.

اگر ضرب و تقسیم اعداد مختلط را نمی‌دانید، این صفحه را مطالعه کنید. 

۱. \( z=a+2i   ⇒\overline{z}= a - 2i\)

۲. \(z=3i ⇒ \overline{z}=-3i\)

۳. \(z=(i+1)(5i+2)=(2-5)+i(2+5) ⇒ \overline{z}=-3-7i\)

۴. \(z=2(i+1) ⇒ \overline{z}= -2i+2\)

۵. \(z=\frac{2i+1}{3i+5} =\frac{(2i+1)(5-3i)}{(5-3i)(5+3i)}= \frac{(5+6)+(10-3)i}{25+9}=\frac{11}{34} + \frac{7}{34}i ⇒ \overline{z}=\frac{11}{34} - \frac{7}{34}i\)

تمرین ۱. مزدوج مختلط اعداد زیر را بدست آورید.

۱. \( \frac{ \overline {50+1}}{3i}\)

۲. \(\overline{2i(6i+1)}\)

۳. \(\overline {i(i+1)(2i+5)} \)

اعمال جبری اعداد مختلط: در این مطلب سعی داریم اعمال جبری که بر روی اعداد مختلط تعریف می‌شوند، را بیان کنیم.

جمع اعداد مختلط:

فرض کنید که دو عدد مختلط \(z_1 = a + ib \) و \( z_2 = c + id \) موجود باشند. در اینصورت عمل جمع بر روی اعداد مختلط به گونه زیر تعریف می‌شود:

\( z_1 + z_2 = (a + ib) + (c +id) = (a+c) + (c+d)i \)

در واقع در عمل جمع اعداد مختلط، کافی است که قسمت‌های حقیقی را با هم و قسمت‌های موهومی را نیز با هم جمع کنیم.

مثال ۱. جمع اعداد مختلط زیر را بدست آورید.

۱. \(  (2i+5) + 5i + i = 8i + 5 \)

۲. \( (16i +1) - 12i+3 = 4i+4 \)

۳. \(  4+4i - (4-4i) = 8i \)

۴. \(  (2i+1) + (5+3i) +2i = 7i + 6 \)

ضرب دو عدد مختلط:

فرض کنید که دو عدد مختلط \(z_1 = a + ib \) و \( z_2 = c + id \) موجود باشند. در اینصورت عمل ضرب بر روی اعداد مختلط به گونه زیر تعریف می‌شود:

\( z_1 . z_2 = (a + ib) (c +id) = (ac - bd) +i (bc + ad) \)

مثال ۲. عبارات زیر را محاسبه کنید.

۱. \( 2i (2i+1) + 5i (7i+2) = -4 + 2i + 10i - 35 = 12i -39 \)

۲. \( (12i+5) (2i+7) - (6i(2i(2i+1))) = (35 - 24) + (84 + 10)i - (6i(-4+2i)) = 11 + 94i + 24i + 12i = 33 + 118i \)

تمرین ۱. عبارات زیر را محاسبه کنید.

۱. \((2i)i (i+5)(2i+1) +3i =\)

۲. \(2i ((2i+1) . (5i+3)) + 15i =\)

۳. \((15i+1)(1+2) - (5i+3)(7i+1) =\)

۴. \((6i+2) (i-1) + 5= \)

تقسیم اعداد مختلط:

فرض کنید که دو عدد مختلط \(z_1 = a + ib \) و \( z_2 = c + id \) موجود باشند. در اینصورت برای عمل تقسیم بر روی اعداد مختلط به گونه زیر عمل می‌شود:

 فرض کنید حاصل تقسیم \( \frac {z_1}{z_2} = \frac {a+ib}{c+id} \) را از شما می‌خواهند. برای محاسبه این تقسیم باید صورت و مخرج را در مزدوج عدد مخرج ضرب کنیم، در نتیجه خواهیم داشت:

\( \frac {z_1}{z_2} = \frac {a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)} = \frac {(ac+bd) + i(bc-ad)}{c^2 + d^2} = \frac {ac+bd}{c^2 + d^2}+i \frac {bc-ad}{d^2+c^2}\)

مثال ۳. تقسیم‌های زیر را محاسبه کنید.

۱. \(  \frac{2i+5}{3i+7} = \frac {(2i+5)(3i+7)}{9+49} = \frac {(35+6)+(-15+14)i}{58} = \frac {41-i}{58} \rightarrow \frac {41}{58} - \frac {1}{58}i \)

۲. \( \frac {12i(5i+3)}{2i} = \frac {-60+36i}{2i} = \frac {(-60+36i)(-2i)}{(2i)(-2i)} = \frac {(120i + 72)}{4} = \frac {120i}{4} + \frac{72}{4} \)

تمرین ۲. عبارات زیر را محاسبه کنید.

۱. \( \frac {2i(5i+3)7i}{(5i+9)(6i+1)} \)

۲. \(  \frac {7i(9i)-6}{(5i+3)^2} \)

۳. \( \frac {(16i+1)(-16+1)}{(2i+3)^2} \)

تعریف ماتریس پوچ توان: فرض کنید ‎A‌‏ یک ماتریس ‌‎\(n\times n ‌‌‌‎\)‌‎ ‏باشد. ماتریس ‎A‌‏ را پوچ توان گویند، هرگاه عبارت زیر برقرار باشد:

\(\exists k\in \mathbb{N}, A^k=0 , A^{k-1} \neq 0\)

عبارت ریاضی بالا بیان می‌کند که k کوچکترین عدد طبیعی است که به ازای آن ماتریس A به توان آن عدد مساوی ماتریس صفر خواهد شد. در اینصورت ماتریس A را پوچ توان از مرتبه k گویند.

تذکر ۱. دقت کنید در صورتی که ماتریس ‎A‌‏ پوچ توان باشد، همواره اندیس ماتریس پوچ توان کمتر از تعداد سطرها یا ستون‌های ماتریس خواهد بود. یعنی برای ماتریس \(n\times n\) که از مرتبه k پوچ توان است، داریم: ‎\(‎ k‎ ‎\leq n ‌‌‎\)‌‌‌‏.

مثال ۱. آیا ماتریس‌های زیر ماتریسی پوچ توان است؟

۱. \(A=\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

با توحه به تعریف ماتریس پوچ توان، کافی است که ماتریس A را در خودش آنقدر ضرب کنیم که برای اولین بار، نتیجه این حاصلضرب‌ها صفر شود. برای این منظور به صورت زیر عمل می‌کنیم:

\(A*A= \begin{bmatrix} 0 &2\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&2 \\0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\)

در نتیجه این ماتریس، ماتریس پوچ توان از مرتبه ۲ خواهد شد.

۲. \(A=\begin{bmatrix} 0 & 0&2\\0&0&3\\0&0&0\\ \end{bmatrix}\)

برای اینکه نشان دهیم این ماتریس، ماتریسی پوچ توان است یا خیر. کافی است به گونه‌ای که برای ماتریس بالا اقدام نمودیم عمل کنیم. حال ماتریس A را در خودش ضرب کنید:

\(A*A=\begin{bmatrix} 0&0&3\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0&3\\0&0&2\\0&0&0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 &0&0 \\ 0&0&0 \\0&0&0\\ \end{bmatrix}\)

در نتیجه این ماتریس هم پوچ توان از مرتبه 2 خواهد شد.

تمرین ۱. کدامیک از ماتریسهای زیر پوچ توان است. 

۱. \(A=\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\\ \end{bmatrix}\)

۲. \(A=\begin{bmatrix}0&-3&2\\0&0&6\\0&0&4\\ \end{bmatrix}\)

۳. \(A=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\5&3&0&0\\8&6&5&0\\ \end{bmatrix}\)