ماتریس پائین مثلثی: فرض کنید که \(A\) یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) باشد. ماتریس \(A\) را یک ماتریس پایین مثلثی گویند، هرگاه تمام درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر باشد. این موضوع را برحسب درایه‌های ماتریس \(A = [a_{ij}]\) اینگونه بیان می‌کنیم:

\( \forall 1 \leq i , j \leq n ,             i \leq j \rightarrow a_{ij} = 0 \)

تعریف ریاضی بالا بیان می‌کند، در یک ماتریس پایین مثلثی هر درایه‌ای که بر روی ستون با اندیس بالاتری نسبت به سطر واقع شده است، حتما صفر است.

مثال ۱. فرض کنید ماتریس \(A\) یک ماتریس پایین مثلثی باشد، که به گونه زیر تعریف شده است. در اینصورت مقادیر \(xz+ y\) را بدست آورید.

\( A = \begin{bmatrix}0 & y & x \\5 & 0 & z \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)

چون ماتریس \(A\) یک ماتریس پایین مثلثی است، پس تمام درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر می‌باشد. لذا داریم \(  0 =y = x = z\) در نتیجه \( xz+y = 0 \) خواهد بود.

تمرین ۱. کدام یک از ماتریسهای زیر، ماتریس بالا مثلثی و کدام یک ماتریس پایین مثلثی است.

۱. \( A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)

۲. \( B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 7 \\0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)

۳. \( C = \begin{bmatrix}1 & 7 & 2 \\5 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)

تعریف عدد مختلط: عدد مختلط را به صورت \( z = a+bi \) که در آن a و b اعداد حقیقی و \(i\) یکه موهومی با خاصیت \( i^2 = -1 \) می‌باشد، نشان می‌دهیم. به بخش a در عدد مختلط z، بخش حقیقی عدد مختلط گوییم و آن را با نماد \(Rez = a \) نشان می‌دهیم. همچنین به بخش b در عدد مختلط z، بخش موهومی عدد مختلط گوییم و با نماد \(Imz = b \) نشان می‌دهیم.

ویژگی‌های ماتریس پاد متقارن: در این مطلب سعی داریم تمام ویژگی‌های واقع شده بر ماتریس‌های پاد متقارن را بیان کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی، پاد متقارن و \( \lambda \) یک اسکالر باشد. در اینصورت ماتریس‌های \( \lambda A \) و \( A+B \) پادمتقارن می‌باشند.

استقلال خطی: فرض کنید که مجموعه \( A = \{ v_1 , ... , v_k \}\) یک زیرمجموعه از فضای برداری \(v\) بر روی میدان \(F\) باشد. در اینصورت این  مجموعه از بردارها را مستقل خطی گوییم، اگر به ازای هر اسکالر \( a_1 , ... , a_k \in F\) ، از تساوی 

\( a_1 v_1 + ... + a_{k}v_{k} =0\)

نتیجه بگیریم که تمامی اسکالرهای \( a_1 , ... , a_k \in F\) مساوی صفر هستند. 

در واقع این مفهوم بیان می‌کند که بردار صفر را نمی‌توان به صورت ترکیب خطی دیگر بردارها یا ضرایب ناصفر، نمایش داد.

مثال ۱. آیا مجموعه \(A=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) \}\) مستقل خطی است؟

برای اثبات مستقل خطی بودن بردارهای مجموعه \(A\) کافی است، ترکیب خطی از بردار صفر را به ازای هر اسکالر \(a_1 , a_2 \) به صورت زیر در نظر بگیریم:

\( a_1\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) + a_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right) \)

\(\Rightarrow  a_1 = 0 \)
\(\Rightarrow  2a_1 + a_2 = 0 \Rightarrow a_2 =0 \)

پس در نتیجه با توجه به تعریف مستقل خطی بودن، مجموعه \(A\)، یک مجموعه مستقل خطی خواهد بود. زیرا هر ترکیب خطی برای بردار صفر توسط بردارهای مجموعه A نوشته شود، ضرایب آن مساوی صفر خواهد شد.

تمرین ۱. آیا مجموعه \(A = \{ \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \}\) یک مجموعه مستقل خطی است؟

تمرین ۲. کدامیک از مجموعههای زیر مستقل خطی و کدامیک وابسته خطی هستند؟

۱. \(A = \{ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}6\\ 7\end{array}\right) \}\)

۲. \(B = \{ \left(\begin{array}{c}1\\ 5 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}7\\ 8 \\ 9 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 1\end{array}\right) \}\)

۳. \(C = \{ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}3\\ 15\end{array}\right) \}\)

۴. \(D = \{ \left(\begin{array}{c}5\\ 7 \\ 8\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}9\\ 10 \\ 1\end{array}\right) \}\)

ماتریس شبه قطری: ماتریس \(A\) به شکل زیر را در نظر بگیرید:

\(A= \begin{bmatrix}A_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n \end{bmatrix}\)

که در آن \(A_1 , ... , A_n\) ماتریسهایی از مرتبه \(m_i \times k_i\) برای \(1\leq i\leq n\) باشند. در اینصورت ماتریس \(A\) را یک ماتریس شبه قطری گویند. ماتریس شبه قطری \(A\) را با نماد \(A = diag (A_1 , ... , A_n)\) نمایش می‌دهند.

اگر ماتریس بلوکی را بخاطر بیاورید، ماتریس شبه قطری را می‌توانیم یک ماتریس بلوکی در نظر بگیریم که درایه های بلوک های غیر واقع بر قطر اصلی، همگی صفر باشند. 

جمع و ضرب روی ماتریس های شبه قطری: جمع و ضرب بر روی ماتریس‌های شبه قطری را به گونه زیر تعریف می‌کنیم:

فرض کنید که \(A = diag (A_1 , ... , A_n)\) و \(B = diag (B_1 , ... , B_n)\) ماتریس‌هایی شبه قطری باشند. جمع و ضرب بر روی این ماتریسهای شبه قطری زمانی قابل بیان است که ماتریس‌های \(A_1 , ... , A_n , B_1 , ... , B_n \)، به گونه‌ای باشند، که بتوان جمع و ضرب ماتریسی را برای این دو ماتریس شبه قطری بیان نمود. لذا برای جمع ماتریس‌های شبه قطری داریم:

\(A+B = \begin{bmatrix}A_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}B_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & B_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & B_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_1+B_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2+B_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n+B_n \end{bmatrix}\)

و همچنین برای ضرب ماتریس‌های شبه قطری داریم:

\(A.B = \begin{bmatrix}A_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}B_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & B_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & B_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_1.B_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2.B_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n.B_n \end{bmatrix}\)

مثال ۱. فرض کنید که A و B دو ماتریس شبه قطری به شکل زیر باشند. ضرب و جمع این دو  ماتریس را بدست آورید.

\( A = \begin{bmatrix}1 & 1 & & 0 & 0\\ 2 & 2 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & 5 & 7& \\ 0 & 0 & & 8 & 9\end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix}1 & 0 & & 0 & 0\\ 0 & 1 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & 5 & 0& \\ 0 & 0 & & 0 & 5\end{bmatrix}\)

\( A+B = \begin{bmatrix}2 & 1 & & 0 & 0\\ 2 & 3 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & 10 & 7& \\ 0 & 0 & & 8 & 14\end{bmatrix} , A.B = \begin{bmatrix}1 & 1 & & 0 & 0\\ 2 & 2 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & 25 & 35& \\ 0 & 0 & & 40 & 45\end{bmatrix} \)

تمرین ۱.  ضرب و جمع ماتریس‌های شبه قطری زیر را محاسبه کنید.

\( A = \begin{bmatrix}5 & 7 & 10 & & 0 & 0 & 0\\ 8 & 9 & 11 & & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & & 5 & 7 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & & 9 & 10 & 11\end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & & 5 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & & 0 & 1 & 1\end{bmatrix} \)