آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی دانشگاه

ماتریس هرمیتی کج (چپ) : فرض کنید که \(A=[a_{ij}]\) یک ماتریس از مرتبه \(n \times n\) بر روی مجموعه اعداد مختلط باشد. ماتریس A را هرمیتی چپ گویند، هرگاه داشته باشیم: 

\(\overline{A^t}=-A\)

این موضوع را می‌توان بر حسب رابطه‌ای بین درایه‌های ماتریس A به گونه زیر بیان نمود:

\(\forall 1 \leq i , j \leq n, \: \:\: a_{ij}=-\overline{a_{ji}}\)

مثال ۱. کدامیک از ماتریسهای زیر یک ماتریس هرمیتی چپ می‌باشد.

۱. \(A=\begin{bmatrix} 2i&3+i\\-3-i&4i \end{bmatrix}\) 

برای اثبات هرمیتی چپ بودن ماتریس A کافیست ابتدا شرط ماتریس‌های هرمیتی چپ را بررسی کنیم. برای این موضوع داریم:

\(A^t=\begin{bmatrix}2i&-3-i\\3+i&4i\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{A^t}=\begin{bmatrix}-2i&-3+i\\3-i&-4i\end{bmatrix}\neq -A\)

پس در نتیجه ماتریس A یک ماتریس هرمیتی چپ نمی‌باشد.

۲. \(B=\begin{bmatrix}i&0&i\\0&2i&-1\\i&1&3i\end{bmatrix}\)

به طور مشابه داریم:

\(B^t=\begin{bmatrix}i&0&i\\0&2i&1\\i&-1&3i\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{B^t}= \begin{bmatrix}-i&0&-i\\0&-2i&1\\-i&-1&-3i\end{bmatrix}=-B\)

لذا یک ماتریس هرمیتی چپ است.

تمرین ۱. کدامیک از ماتریسهای زیر ماتریس هرمیتی چپ می‌باشند.

۱. \(\begin{bmatrix}2i&0&i+1\\0&0&i\\-i-1&i&0\end{bmatrix}\)

۲. \( \begin{bmatrix}i+1&0\\0&i\end{bmatrix}\)

ماتریس‎ هرمیتی: ماتریس مربعی \(A=[a_{ij}]_{n\times n}‎\) را در نظر بگیرید. هرگاه ترانهاده مزدوج مختلط آن با خود ماتریس برابر شود، آن ماتریس را یک ماتریس هرمیتی گویند. به عبارت دیگر، رابطه زیر بین درایه‌های ماتریس A و ماتریس هرمیتی A برقرار است: 

‎\(‌‎ ‌‎\overline{A^{t}} =‎ A ‌‌‌‎\)‌‌  ‏ یا ‎\(‌‎ ‎a_{ij} =‎ ‌‎\overline{a_{ij}} ‌‎\)‎

‏نکته ۱. با توجه به این موضوع که در ماتریس هرمیتی، درایه‌های ماتریس به صورت ‎\(‎a_{ij} =‎ ‌‎\overline{a_{ij}} \)‎ است، لذا عناصر واقع بر روی قطر اصلی ماتریس، نیز باید دارای این ویژگی باشد، یعنی‏ به ازای هر i خواهیم داشت:

‎\( ‎a_{ii}‎ =‎ ‌‎\overline{a_{ii}} \)‎

با توجه به تعریف ماتریس هرمیتی که مزدوج مختلط آن باید با خود ماتریس برابر باشد، و همچنین این موضوع که هر عدد با مزدوج مختلط خود زمانی برابر خواهد بود که آن عدد حقیقی باشد. لذا عناصر بر روی قطر اصلی ماتریس هرمیتی همیشه اعداد حقیقی خواهند بود.

نکته ۲.  ماتریسهای متقارن حقیقی، ماتریس‌های هرمیتی می‌باشند، زیرا عبارت زیر را برای ماتریس‌های متقارن حقیقی داریم:

‎\( ‎a_{ij} =‎ ‌‎\overline{a_{ij}} ‎\Longrightarrow ‎a_{ij} = ‎a_{ji}‎ \)‌‏

مثال ۱. با ذکر علت بیان کنید کدامیک از  ماتریسهای زیر، ماتریس هرمیتی است.

۱. \(A = \begin{bmatrix} 0 &i & 0 \\ -i & 1 & 2 \\ 0 & 2 & i\end{bmatrix}\)

با توجه به نکته ۱، زمانیکه یک ماتریس مربعی، ماتریس هرمیتی باشد، درایه‌های واقع بر روی قطر اصلی آن حتما حقیقی خواهند بود. پس با توجه به این موضوع، ماتریس A، ماتریس هرمیتی نخواهد بود، زیرا درایه آخر از قطر اصلی عددی موهومی است.

۲.  \(B = \begin{bmatrix}1& i& 1-i\\ -i& 1& 0 \\ 1+i & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

 ماتریس B یک ماتریس هرمیتی است، برای بررسی این موضوع کافی است ثابت کنیم که ترانهاده مزدوج این ماتریس با خود ماتریس برابر خواهد شد. ابتدا با مزدوج نمودن تک تک درایه‌های ماتریس B، مزدوج این ماتریس را به گونه زیر به دست می‌آوریم:

\(‌‎\overline{B} = \begin{bmatrix}1& -i& 1+i\\ i& 1& 0 \\ 1-i & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

و در نهایت با ترانهاده گرفتن از ماتریس مزدوج، ماتریس نهایی را به گونه زیر حاصل می‌کنیم:

\(\overline{B}^T= \begin{bmatrix}1& i& 1-i\\ -i& 1& 0 \\ 1+i & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

حال اگر به ترانهاده مزدوج ماتریس B و خود ماتریس B دقت کنید متوجه خواهید شد که این دو ماتریس یکسان می‌باشند.

در ادمه این مطلب سعی نموده‌ایم که ویژگی‌های مهم ماتریس هرمیتی را همراه با مثالی برای تک تک آنها بیان کنیم.   

 ویژگی ۱. هر ماتریس هرمیتی‏، یک ماتریس نرمال می‌باشد. زیرا از تعریف ماتریس هرمیتی داريم‎\( ‌‌‎\overline{A ^ {t}}‎ =‎ A ‌‌‌‎\)‌‌‏. با ضرب كردن دو طرف اين عبارت در ماتریس A خواهيم داشت:

\( ‌‌‎A\overline{A ^ {t}}‎ =‎ AA=\overline{A ^ {t}}A ‌‌‌‎\)‌‌

 از دو طرف عبارت بالا خواهیم داشت:

‎\(‌‎ ‎A\overline{A^t}= ‌‌‌‎\overline{A^t}A ‌‎\) ‌‏

که نشان می‌دهد A یک ماتریس نرمال است.

مثال ۲.  آیا  ماتریس زیر یک ماتریس نرمال است.

\(A=  \begin{bmatrix} 1& 1-i\\ 1+i& 0 \end{bmatrix}\)

با توجه به ویژگی بالا، و این موضوع که ماتریس A، یک ماتریس هرمیتی است، لذا A یک ماتریس نرمال هم خواهد بود. 

ویژگی ۲. مقادیر ویژه‌ ماتریس‌های هرمیتی‏، عددهای حقیقی می‌باشند.

برای نشان دادن این موضوع کافی است به گونه زیر عمل کنید، فرض کنید که \(\lambda\) یک مقدار ویژه دلخواه از ماتریس هرمیتی A باشد. در اینصورت داریم:

\(Ax=\lambda x\) 

اکنون دو طرف تساوی بالا را در \(\overline{x}^T\) ضرب می‌کنیم، لذا داریم:

\(\overline{x}^T(Ax)=\overline{x}^T(\lambda x)=\lambda\overline{x}^T x=\lambda \| x \|\)        (*)

حال با توجه به این موضوع که x , Ax دو بردار می‌باشند، لذا با توجه به ضرب داخلی بردارها داریم:

\(\overline{x}^T(Ax)=(Ax)^T \overline{x}\)

با توجه به ویژگی ترانهاده هم رابطه عبارت زیر حاصل خواهد شد:

 \(\overline{x}^T(Ax)=(Ax)^T \overline{x}=x^T A \overline{x}\)                                                (**)

در نهایت با مزدوج گرفتن از دو طرف تساوی عبارت (*) داریم:

\(x^T\overline{A}\overline{x}=\overline{\lambda} \| x \|\)                                                      (***)

حال با توجه به (*)،(**) و (***) خواهیم داشت:

\(\overline{\lambda} \| x \| =\lambda \| x\|⇒ \overline{\lambda}=\lambda\)

از عبارت حاصل شده \(\overline{\lambda}=\lambda\) می‏‌توان نتیجه گرفت که مقادیر ویژه‌های ماتریس هرمیتی حتما حقیقی است زیرا اعدادی که مزدوج آنها با خود آن عدد یکی باشد حتما اعداد حقیقی خواهند بود.

۳. بردارهای ویژه ماتریس هرمیتی‏، متعامد هستند.

برای نشان دادن این موضوع کافی است دو مقدار ویژه متمایز \(\lambda_1 , \lambda_2\) را با بردارهای ویژه متناظر به ترتیب \(x_1 , x_2\) در نظر بگیریم. از آنجا که این مقادیر ویژه حقیقی هستند، داریم: 

\(\lambda_1(x_1 , x_2)=(\lambda_1 x_1 , x_2)=(Ax_1 , x_2)=(x_1 , Ax_2)=(x_1 , \lambda_2 x_2)=\lambda_2 (x_1 , x_2)\)

از متمايز بودن دو مقدار ويژه \(\lambda_1 , \lambda_2\) داریم، زمانی تساوی دو طرف عبارت بالا برقرار خواهند شد که عبارت \((x_1 , x_2)\) مساوی صفر شود و این موضوع با توجه به مفهوم ضرب داخلی فضای برداری به این معنی است که این دو بردار متعامد خواهند بود.

مثال ۱. مقادیر و بردارهای ویژه ماتریس هرمیتی زیر را مورد محاسبه قرار دهید.

‎\( A = \begin{bmatrix}1 & 1-‎i‎ \\ 1 + i & 2 \end{bmatrix} \)‌‌‎

برای محاسبه مقدارهای ویژه باید عبارت ‌‎\( ‎det ‎(A -‎ ‌‎\lambda ‎I) =‎ 0 ‌‌‌‎\)‌‎ ‏را محاسبه کنیم. لذا داريم:

‎\( A -‎ ‌‎\lambda I‎ =‎ \begin{bmatrix}1 & 1-‎i‎ \\ 1 + i & 2 \end{bmatrix} -‎ ‌‎\begin{bmatrix}‎ ‌‎\lambda &0 \\ 0& ‎ ‌‎\lambda \end{bmatrix} =‎ \begin{bmatrix}1- ‌‎\lambda & 1-‎i‎ \\ 1 + i & 2 - ‌‎\lambda \end{bmatrix}‌‎ \)‌‌‎

اکنون دترمینان ماتریس حاصل را بدست می آوریم:

‎\(‌‎ ‎det\begin{bmatrix}1- ‌‎\lambda & 1-‎i‎ \\ 1 + i & 2 - ‌‎\lambda \end{bmatrix} =‎ (1 - ‌‎\lambda) ‎(2 - ‌‎\lambda) -‎ ‎(1 -‎ ‎i) (‎ ‎1+i) =‎ ‎2 - ‌‎\lambda -‎ ‎2‌‎\lambda +‌‌‎\lambda^2 ‎-1 -‎ i‎ ‎+i ‎-1 = ‌‌‌‎\lambda^2 -3\lambda‌‎ ‎\Longrightarrow ‌‎\lambda =‎ 0‎ , ‌‌‌‎\lambda =‎ 3 ‌‌‌‎\)‌‌‏ .

حال برای بدست آوردن بردارهای ویژه اینگونه عمل می‌کنیم که ‎\(‌‎ ‎Av = ‌‌‌‎\lambda‎ v ‎\)‎. ابتدا بردار ویژه \(v=(v_1 , v_2)\) متناظر با مقدار ویژه \(\lambda =0\)  را به دست می‌آوریم:

\(Av=0\times v=0 ⇒ \begin{bmatrix}1 & 1-‎i‎ \\ 1 + i & 2 \end{bmatrix} (v_1 , v_2)^T=0 ⇒ \begin{bmatrix}v_1 + v_2(1-‎i)‎ \\ v_1 (1 + i) + 2v_2 \end{bmatrix} \) 

در نتيجه از مولفه اول بردار حاصل شده يعنی \(v_1 = -(1-i)v_2\) داریم که بردار ویژه متناظر با مقدار ویژه صفر به صورت \(v=(-(1-i) , 1)\) خواهد شد. با روشی مشابه بردار ویژه متناظر با مقدار ویژه ۳ را محاسبه کنید. 

تمرین ۱. مقدار ویژه و بردارهای ویژه ماتریس هرمیتی زیر را بدست آورید.

‎\( A = \begin{bmatrix}1 & -‎i‎ & 1 \\ i & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \)‎

ویژگی‌‌های ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج

 در این مطلب سعی داریم ویژگی‌هایی که بر روی ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج را بررسی کنیم. 

ویژگی ۱. اگر A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) باشد. در اینصورت عبارات زیر را داریم: 

• ‌ماتریس \(A+\overline{A^t}\) یک ماتریس هرمیتی است. زیرا داریم: 

\(\overline{(A+ \overline{A^t})^t}= \overline{A^t + (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} + \overline{\overline{(A^t)^t}}= \overline{A^t} + \overline{\overline{A}}= \overline{A^t} + A\)

در نتیجه ‌ماتریس A یک ماتریس هرمیتی است. 

• ‌ماتریس \(A-\overline{A^t}\) یک ماتریس هرمیتی کج است. زیرا داریم: 

\(\overline{(A-\overline{A^t})^t}= \overline{A^t - (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{(\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{\overline{(A^t)^t}}=\overline{A^t} - \overline{\overline{A}}=\overline{A^t} - A=-(A-\overline{A^t})\)

مثال ۱. فرض کنید که A یک  ماتریس مربعی به شکل زیر باشد. نشان دهید که \(A+\overline{A^t}\)  و \(A- \overline{A^t}\) ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج می‌باشند.

\(A=\begin{bmatrix}1&i\\0&2 \end{bmatrix}\)

برای اینکه نشان دهیم ماتریسهای \(A+\overline{A^t}\) و \(A-\overline{A^t}\) ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج هستند، اینگونه عمل می‌کنیم:

 \(A^t= \begin{bmatrix} 1&0\\i&2\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}\) ⇒ \(A+ \overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&0\\-i&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C\)

حال نشان می‌دهیم که \(A+\overline{A^t}\) هرمیتی است. لذا داریم:

\(C^t =\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{C^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C\)

لذا یک ماتریس هرمیتی است. 

حال ماتریس \(A-\overline{A^t}\) را به دست می‌آوریم:

\(A-\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D\)

بررسی می‌کنیم که ماتریس حاصل شده یک ماتریس هرمیتی کج است. پس داریم:

\(D^t=\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{D^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D\)

پس یک ماتریس هرمیتی کج است. 

ویژگی ۲. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) با درایه‌های مختلط باشد. در اینصورت این ماتریس را می‌توان به شکل مجموع دو ماتریس هرمیتی \(\frac{1}{2}(A + \overline{A^t})\) و ماتریس هرمیتی کج \(\frac{1}{2}(A-\overline{A^t})\) نوشت. 

تمرین ۱. نشان دهید که ماتریسهای زیر را می‌توان برحسب مجموع دو ماتریس به شکل ویژگی ۲ بیان نمود. 

۱. \(A=\begin{bmatrix}1&i&2\\3&i+1&5\\i&3&4\end{bmatrix}\)

۲. \(B=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i+1&5i\end{bmatrix}\)

ویژگی ۳. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) باشد. در اینصورت داریم:

• اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی باشد. آنگاه \(\overline{A}\) یک ماتریس هرمیتی است. زیرا از اینکه A ماتریس هرمیتی است، داریم:

\(\overline{A^t}=A\)

در نتیجه \(\overline{\overline{A}^t}= \overline{A}\). پس \(\overline{A}\) یک ماتریس هرمیتی است. 

• اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی کج باشد. آنگاه \(\overline{A}\) یک ماتربس هرمیتی کج است. زیرا از اینکه A یک ماتریس هرمیتی است، داریم:

\(\overline{A^t}= -A\)

در نتیجه \(\overline{\overline{A}^t}=-\overline{A}\). پس \(\overline{A}\) یک ماتریس هرمیتی کج است .

تمرین ۲. نشان دهید که ماتریسهای \(\overline{A}\)  و \(\overline{B}\) ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج است. 

• ۱. \(A=\begin{bmatrix}1&i&0\\-i&2&-2i\\0&2i&3\end{bmatrix}\) 
• ۲. \(B=\begin{bmatrix}i&1-i\\-1-i&3i\end{bmatrix}\)

  ---

ویژگی ۴. فرض کنید که A یک ماتریس حقیقی و پادمتقارن یا مختلط و هرمیتی کج باشد. آنگاه \(±iA\) یک ماتریس هرمیتی است. 

تمرین ۳. نشان دهید که ویژگی ۴ برقرار است.

 ویژگی ۵. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی مختلط از مرتبه \(n\times n\) و هرمیتی باشد. در اینصورت ماتریسهای زیر هرمیتی هستند. 

\(A+\overline{A^t}\)      

 \(A\overline{A^t}\)   

  \(\overline{A^t}A\)

مثال ۲. فرض کنید که A یک ماتریس هرمیتی مختلط به شکل زیر باشد. ویژگی ۵ را بررسی کنید. 

\(A=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}\)

ابتدا نشان می‌دهیم که \(\overline{A^t}A\)  یک ماتریس هرمیتی است. برای این موضوع داریم:

\(A^t=\begin{bmatrix}i&2i\\i+1&3i\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{A^t}= \begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}\)

⇒ \(\overline{A^t}A=\begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+4&1-i+6\\1+i+6&1+1+9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&7-i\\7+i&11\end{bmatrix}=C\)

که C یک ماتریس هرمیتی است. به عنوان تمرین ثابت کنید که \(A\overline{A^t}\) و \(A + \overline{A^t}\) ماتریس‌های هرمیتی هستند.

ویژگی ۶. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) و هرمیتی باشد. در اینصورت A را می‌توان به شکل منحصر به فردی چون \(B+iC\) نوشت که در آن B یک ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن حقیقی است. 

مثال ۳. فرض کنید که A یک ماتریس به شکل زیر باشد. نشان دهید ویژگی ۶ برقرار است. 

\(A=\begin{bmatrix}2&i\\-i&3\end{bmatrix} \)⇒ \(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix} + i\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}=B+iC\)

که در آن B یک  ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن است. 

ویژگی ۷. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n\times n\) و هرمیتی کج باشد. در اینصورت می‌توان  ماتریسهای B و C که منحصر به فرد هستند را به گونه‌ای یافت که \(A=B+iC\) باشد، که در آن B ماتریس پادمتقارن و C ماتریس متقارن حقیقی است. 

تمرین ۴. با یک مثال ویژگی ۷ رانشان دهید. 

تعریف نگاشت خطی: فرض کنید که \(W\)  و \(V\) دو فضای برداری بر روی میدان یکسان \(F\) باشند. تابع \(f:V \Rightarrow W\) را یک نگاشت خطی یا تبدیل خطی گویند، هرگاه به ازای هر \(u,v \in V\) و برای هر اسکالر \(c \in F\) که می‌گیریم، داشته باشیم:

۱. \(f(u+v) = f(u) + f(v)\)

۲. \(f(cu) = cf(u)\)

یا به ازای هر \(u,v \in V\) و برای هر اسکالر \(c \in F\) که می‌گیریم، می‌توان به طور خلاصه بیان نمود:

\(f(cu+v) = cf(u)+f(v)\)

نکته‌ای که باید در این تعریف مورد توجه قرار بگیرد، این است که یک تبدیل خطی بر روی فضاهای برداری با میدان یکسان قابل تعریف است. پس داریم، هرگاه \(f\) یک تبدیل خطی از فضای برداری \(V\) بر روی میدان \(F\) به فضای برداری \(W\) بر روی میدان \(K\) باشد، حتما \(K\) باید زیرمیدانی از \(F\) باشد تا \(f\) بتواند یک تبدیل خطی را تشکیل بدهد.

مثال ۱. فرض کنید که تابع \(T:\mathbb{R}^2\Rightarrow \mathbb{R}^3\) با ضابطه‌ای به صورت  \(T(x,y) = (x, x+y, 2x)\) باشد. آیا این  تابع یک تبدیل خطی است.

برای اثبات این موضوع که  تابع \(T\) یک تبدیل خطی است، به گونه زیر عمل می‌کنیم:

به ازای هر \(b=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2\) و \( a=(x_1,y_1) \in \mathbb{R}^2\) و اسکالر \(c \in \mathbb{R}\) می‌گیریم، داریم:

\(T(ca+b) = T(c(x_1, y_1)+(x_2, y_2)) \\ =T(cx_1+x_2 , cy_1+y_2) = (cx_1+x_2, cx_1+x_2 +cy_1+y_2, 2cx_1+x_2) \\ = (cx_1, cx_1+cy_1, 2cx_1)+(x_2, x_2+y_2, 2x_2) = cT(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)\)

پس با توجه به عبارت بالا می‌توان گفت که تابع \(T(x,y)\) یک تبدیل خطی را تشکیل می‌دهد.

مثال ۲. فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. در این صورت تابع به شکل زیر، آیا یک تبدیل خطی است یا خیر؟

 \(T:V \times V \rightarrow F\)

\(Tv = 1\)

برای اینکه نشان دهیم تابع بالا یک تبدیل خطی است، کافیست ثابت کنیم:

\(\forall x, y \in V,\:\: \forall a \in F,\:\;  T(ax+y)= aT(x)+T(y)\)

همانطور که از ضابطه بالا بر می‌آید داریم:

 \(T(ax+y) =1\) 

در حالیکه داریم:

\(aT(x) + T(y) = a \times 1+1 = a+1\)

که با توجه به اینکه \(T(ax+y) \neq aT(x)+T(y)\) شده است. لذا \(T\) یک تبدیل خطی نمی‌باشد.

تمرین ۱. فرض کنید که \(V\)  فضای برداری تمام توابع چندجمله‌ای از مرتبه \(n\) باشد. در این صورت عمل مشتق‌گیری بر روی این فضای برداری یک تبدیل خطی است.

تمرین ۲. فرض کنید که \(V\)  فضای برداری تمام توابع حقیقی مقدار و پیوسته باشد. در اینصورت تابع زیر آیا یک تبدیل خطی است؟

\(f(x) \in V, \:\: T(f(x)) = \int_{0}^{x} f(t)dt\)

تمرین ۳. آیا تابع زیر یک تبدیل خطی است؟

\(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3\)

\(T(x,y) = (x^2, 2y, x-y)\)

تمرین ۴. فرض کنید که \(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3\) یک تبدیل خطی باشد بطوریکه \(T(1,2) = (1,0,3)\) و \(T(1,5) = (0,1,2)\) باشند. در این صورت \(T(0,2)\) را محاسبه کنید.

مثال ۳. فرض کنید \(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^2\) یک تبدیل خطی و \(T(3,0) = (1,2) \) و \( T(2,1) = (5,1)\) باشند. در اینصورت مقدار عبارت \(T(2,3)\) را بدست آورید.

برای بدست آوردن \(T(2,3)\) به گونه زیر عمل می‌کنیم:

۱. در ابتدا \((2,3)\) را به صورت ترکیب خطی از \((3,0)\) و \((2,1)\) می‌نویسیم. برای این موضوع مقدار \(\beta\) و \( \alpha\)ای موجود هستند به قسمی که داریم:

\((2,3) = \alpha(2,1) +\beta (3,0)\)

لذا دستگاه زیر را به دست می‌آوریم:

\(\begin{cases}2 \alpha + 3 \beta = 2\\ \alpha = 3\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}\beta = \frac{-4}{3}\\ \alpha = 3\end{cases}\)

پس داریم:

\((2,3) = 3(2,1) - \frac{-4}{3}(3,0)\)

از آنجا که \(T\) یک تبدیل خطی است، داریم:

\(T(2,3) = T(3(2,1) - \frac{4}{3}(3,0)) = 3T(2,1) - \frac{4}{3} T(3,0) = 3(5,1) - \frac{4}{3}(1,2) = (15 - \frac{4}{3} , 3- \frac{8}{3} = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})\)

پس داریم:

\(T(2,3) = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})\)