ویژگی ماتریس‌های متقارن

مقطع تحصیلی: دوره دوم متوسطه

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ویژگی‌ ماتریس‌های متقارن: در این مطلب سعی داریم، ویژگی‌‌هایی را که بر روی ماتریس‌های متقارن صدق می‌کنند، را بیان کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید که \(A\) و \(B\) دو ماتریس مربعی و متقارن باشند. در اینصورت \( A+B \) متقارن خواهد بود.

زیرا با توجه به ویژگی‌هایی که برای ترانهاده یک ماتریس و  ماتریس‌های متقارن \(A\) و \(B\)  گفته شد، داریم:

\( (A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} = A + B \)


مثال ۱- فرض کنید که دو ماتریس متقارن \(A\) و \(B\) به صورت زیر بیان شده باشند.

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} i & o \\ 0 & i \end{bmatrix} \)

در اینصورت \( A + B \) متقارن نخواهد شد. زیرا با توجه به ویژگی ۱، برای اینکه مجموع دو ماتریس متقارن باشد، باید هر دو ماتریس‌ \(A\) و \(B\) متقارن باشند که در این مجموع، \(B\) متقارن نیست.


ویژگی ۲. اگر A ماتریس مربعی و متقارن باشد. در اینصورت \( \lambda A \) نیز برای اسکالر \( \lambda \) متقارن خواهد شد.


تمرین ۱. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix} \) و \( \lambda = i \) باشد. در اینصورت آیا  \( \lambda A \) متقارن است؟


ویژگی ۳. فرض کنید که \(A\) و \(B\) دو ماتریس متقارن باشند. در اینصورت \( AB \) در حالت کلی متقارن نخواهد بود. برای اینکه دو ماتریس‌ \( AB \) متقارن باشند، حتما باید این دو ماتریس‌ تعویض پذیر باشند. با توجه به ویژگی‌های ترانهاده یک ماتریس‌ داریم:

\( (AB)^{T} = B^{T} A^{T} \)

حال چون \(A\) و \(B\) متقارن هستند، لذا \( A^{T} = A \) ،\( B^{T} = B \) و اینکه \( AB = BA \) است. پس داریم:

\( B^{T} A^{T} = BA = AB \)


مثال ۲. فرض کنید دو ماتریس‌ \(A\) و \(B\) به صورت زیر بیان شده باشند. نشان دهید که \( AB \) لزوما متقارن نیست.

فرض کنید که دو ماتریس‌ A و B را به صورت زیر تعریف کرده باشیم:

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \)

در اینصورت داریم:

⇒ \( AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 15 & 6 \end{bmatrix} \)

⇒ \( BA = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 15 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \)

پس در نتیجه \( AB \neq BA \) می‌باشد.


ویژگی ۴. فرض کنید که A یک ماتریس متقارن باشد. در اینصورت هر توانی از ماتریس‌ A هم متقارن خواهد شد. یعنی داریم:

\( \forall n \in N (A^{n})^{T} = (A^{T})^{n} = A^{n} \)


ویژگی ۵. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس متقارن باشد، هرگاه \( f(x) \) یک تابع چندجمله‌ای به شکل زیر باشد:

\( f(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0 \)

در اینصورت \( f(A) \) هم یک ماتریس متقارن خواهد بود.


مثال ۳. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} \) یک ماتریس متقارن باشد. همچنین تابع \( f(x) = x^2 + x \) را در نظر بگیرید. نشان دهید که \( f(A) \) هم متقارن است.

\( f(A) = A^2+A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 26 & 5 \\ 5 & 25 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 10 \\ 10 & 25 \end{bmatrix} \)

با توجه به تعریف ماتریس‌های متقارن می‌بینیم که ماتریس‌ حاصل شده نسبت به قطر اصلی متقارن می‌باشند.


تمرین ۲. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی باشد. آیا ماتریس \( AA^{T} \) متقارن است؟


تمرین ۳. فرض کنید که A و B ماتریس‌های مربعی باشند. آیا ماتریس \( AB^{T} - BA^{T} \) متقارن است؟


تمرین ۴. فرض کنید که A و B ماتریس‌های مربعی باشند. آیا ماتریس \( AB^{T} + B^{T}A \) متقارن است؟


تمرین ۵. فرض کنید که \( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 5 & 0 & i \\ 7 & i & i \end{bmatrix} \) باشد. نشان دهید که \( f(A) \) با تابع چندجمله‌ای  به‌ صورت زیر یک ماتریس متقارن است.

\( f(x) = x^3 + ix \)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (341)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution بازدید (328)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme بازدید (373)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme بازدید (439)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (395)
Cambridge International AS and A Level M...

فایل های تصادفی

Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2022 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level M... بازدید (274)
Cambridge International AS and A Level M...
پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام نور ترم اول 94-93 همراه با برنامه پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام... بازدید (17005)
پاسخنامه کاملا تشریحی برنامه سازی پیشرفت...
جزوه ریاضی مهندسی پیشرفته دکتر طلعتی تبریز جزوه ریاضی مهندسی پیشرفته دکتر طلعتی تبر... بازدید (18337)
جزوه ریاضی مهندسی پیشرفته دکتر طلعتی دان...
آمار و احتمال 1 رشته آمار پیام نور آمار و احتمال 1 رشته آمار پیام نور... بازدید (22543)
کتاب آمار و احتمال 1 پیام نور رشته آمار،...
نظریه گراف ها و کابردهای آن، باندی نظریه گراف ها و کابردهای آن، باندی... بازدید (23075)
Geraph Theory ، مترجم حمید ضرابی زاده...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (78657)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (40019)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (37552)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (36375)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (34127)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
15158739

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا