حلقه
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
رای دهی: 5 / 5
تعریف حلقه : مجموعه \( A\neq \emptyset \) را همراه با دو عمل دوتایی + و . در نظر بگیرید. مجموعه A یک حلقه است هرگاه در سه شرط زیر صدق نماید:
۱. A نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی باشد، این معنی می‌دهد کهA در شرایط زیر صدق می‌کند:
- عمل دوتایی جمع بر روی A شرکتپذیر می‌باشد، یعنی
\(\forall a , b , c \in A , (a +b) + c = a+(b+c)\)
- عمل دوتایی جمع بر رویA دارای خاصیت جابه‌جایی است، یعنی
\(\forall a , b \in A , a + b = b +a\)
- عمل دوتایی جمع بر روی A دارای عضو همانی است، یعنی
\(\exists 0 \in A , \forall a \in A, a+0=0+a=a\)
- هر عضو در A همراه با عمل دوتایی جمع دارای عضو وارون است، یعنی
\(\forall a \in A, \exists b \in A, a+b =b+a=0\)
۲. A نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر است، یعنی
\(\forall a , b , c \in A , (a.b).c = a.(b.c)\)
۳. عمل دوتایی . بر روی عمل دوتایی + پخشپذیر است، یعنی
\(\forall a , b , c \in A , (a +b). c = a.c +b.c\) (پخشپذیری از راست)
\(\forall a , b , c \in A, c.(a +b)=c.a + c.b\) (پخشپذیری از چپ)
مثال ۱. بررسی کنید \((Q , + , .)\) یک حلقه جابه جایی و یکدار می‌باشد؟
با توجه به مطلب گروه، می‌دانیم که \((Q , +)\) تشکیل یک گروه آبلی می‌دهد. همچنین می‌دانیم که Q نسبت به ضرب شرکتپذیر است یعنی
\(\forall a , b , c \in Q , (a.b).c = a.(b.c)\)
در آخر پخشپذیر بودن عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع را در مجموعه Q مورد بررسی قرار می‌دهیم:
\(\forall a , b , c \in Q , (a +b). c = a.c +b.c \) (پخشپذیری از راست)
\(\forall a , b , c \in Q, c.(a +b)=c.a + c.b \) (پخشپذیری از چپ)
مثال ۲. بررسی کنید مجموعه زیر همراه با عمل‌های دوتایی ذکر شده یک حلقه است؟
\(R =\{ f(x)=x^n| n\in \mathbb{Z}\}\)
\(\forall f(x) , g(x) \in R , f(x)+g(x)=x^n.x^m=x^{n+m} \)
\(\forall f(x) , g(x) \in R, f(x).g(x)=fog(x)=f(g(x))=f(x^m)=(x^m)^n= x^{nm}\)
برای بررسی نمودن حلقه بودن مجموعه R کافی است، شرایط ذکر شده برای حلقه را تک تک مورد بررسی قرار دهیم. برای این منظور داریم:
۱. R نسبت به عمل دوتایی جمع تعریف شده در بالا یک گروه آبلی است. لذا داریم:
- R نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است. زیرا با توجه به تعریف بالا \(x^{n+m}\) دوباره در مجموعه R واقع می‌شود.
- R نسبت به عمل دوتایی دارای عضو همانی یک می‌باشد، زیرا به ازای هر \(f(x)\) در مجموعه R داریم: \(f(x) + 1 = 1+ f(x)=f(x)\).
- به ازای هر عضوی دلخواه \(f(x) =x^n\) که از مجموعه R گرفته می‌شود، عضو منحصر به فردی چون \(g(x)\) در R موجود است که داریم:
\(f(x)+g(x)= 0=g(x)+f(x)\)
کافی است \(g(x)\) را مساوی با \(x^{-n}\) در نظر بگیریم. حال کافی است که جا به جایی نسبت به عمل دوتایی جمع را مورد بررسی قرار دهیم. برای این منظور داریم:
\(\forall f(x) , g(x) \in R , f(x)+ g(x) =x^{n+m}= x^{m+n}= g(x) + f(x)\)
حال بررسی می‌کنیم که R نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر می‌باشد. لذا داریم:
\(\forall f(x) , g(x) \in R , f(x).g(x)= (x^m)^n=(x^n)^m= g(x).f(x)\)
و در آخر عمل دوتایی ضرب بر روی جمع پخشپذیر می‌باشد، لذا داریم:
\(\forall f(x) , g(x) , h(x) \in R, f(x).(g(x)+h(x)) = x^n.(x^m + x^k)=x^n.(x^{m+k})=(x^{m+k})^n= x^{nm} + x^{nk}=f(x).g(x)+f(x).h(x)\)
در نتیجه R نسبت به این دو عمل دوتایی یک حلقه را تشکیل می‌دهد.
تمرین ۱ . مجموعه \(Z_4 =\{ \overline{0} , \overline{1} , \overline{2} , \overline{3} \}\) همراه با دو عمل دوتایی تعریف شده به صورت زیر در نظر بگیرید:
\(\forall \overline{x} , \overline{y} \in Z_4, \overline{x} + \overline{y}=\overline{x+y} \in Z_4\)
\(\forall \overline{x} , \overline{y} \in Z_4, \overline{x} . \overline{y}=\overline{xy} \in Z_4\)
آیا \( (Z_4 , + , .) \) تشکیل یک حلقه را می‌دهد؟
تمرین ۲ . آیا مجموعه زیر نسبت به عمل دوتایی ضرب و جمع ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه می‌دهد یا خیر؟
\(M_2(R) = \{ A = \left[\begin{array}{c c} a & b\\ c & d \end{array}\right] | a , b , c , d \in R \}. \)
