حلقه یکدار
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف حلقه يکدار: فرض کنید که R نسبت به دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. R را یک حلقه یکدار گویند، هرگاه عضوی چون \( 1_{R} \in R \) موجود باشد به قسمی که به ازای هر \( a \in R \) داشته باشیم:
\( a.1_{R} = 1_{R}.a = a \)
مثال۱. ثابت کنید که \(\mathbb{Q}\) همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب معمولی اعداد یک حلقه یکدار است.
برای اثبات این موضوع که \(\mathbb{Q}\) نسبت به دو عمل دوتایی جمع و ضرب معمولی یک حلقه یکدار است. داریم:
۱. \((\mathbb{Q} , +)\) یک گروه آبلی است. يعني داريم:
- \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است.
- \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع جابه‌جايي است.
- \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع شركتپذیر است.
- \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع دارای عضو همانی است.
- \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع دارای عضو وارن به ازای هر عضو می‌باشد.
۲. \((\mathbb{Q} , .)\) بسته و شرکت پذیر است.
۳. عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر است.
و اینکه در نهایت برای اثبات حلقه یکدار بودن داریم:
۴. عضو \(1 \in \mathbb{Q}\) موجود است، به قسمی که به ازای هر \(a\in \mathbb{Q}\) بگیریم، داریم:
\( 1.a = a.1 =a \)
در نتیجه \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی ضرب دارای یک عضو همانی است. در نتیجه این حلقه یک حلقه یکدار است.
تمرین ۱. ثابت کنید که مجموعه \( M_{n \times n} (\mathbb{R}) = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in R , ad - bc \neq 0 \} \) یک حلقه یکدار است.
تمرین ۲. آیا مجموعه \( 2Z = \{ 2k | k \in Z \} \) یک حلقه یکدار است یا خیر.
تمرین ۳. آیا مجموعه \( Z_{n} = \{ \overline{0} , \overline{1} , ... \overline{n-1} \} \) همراه با عمل دوتایی جمع و ضرب معمولی تشکیل یک حلقه یکدار می‌دهد یا خیر؟
\( \forall \overline{a} , \overline{b} \in Z_{n} ; \overline{a+b} = \overline{a} + \overline{b}\)
\( \forall \overline{a} , \overline{b} \in Z_{n} ; \overline{ab} = \overline{a} \overline{b} \)
که در آن نماد \(\overline{i}\) به مفهوم زیر است:
\(\overline{i}=\{m \in \mathbb{Z} | m=nq+i , q \in \mathbb{Z} \}\)
