ترکیب توابع، محاسبه دامنه به همراه مثال و تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 1 / 5

فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

ترکیب ‎‏توابع:‎ فرض کنید که ‎‎\(‎f:X‎\rightarrow ‎Y‎\)‎‎‏ و ‎‎\(‎g:Y‎\rightarrow ‎Z‎\)‎‎‏ دو تابع باشند. ترکیب دو تابع f‎‎‎‎‏ و g‎ ‏‎ ‎تابعی‎ است که مقدار ‎‏‎‎\(‎‎‎x\in D_f‎\)‎‎ ‏را ‏به مقداری چون ‎\(g(f(x))‎‎\)‎ در‎‎‎ مجموعه ‎ Z‎‎‎می‌نگارد به این صورت که ابتدا تابع f روی x عمل می کند و خروجی \(f(x)\) را تولید می‌کند سپس تابع g روی مقدار بدست آمده از تابع f عمل می کند و خروجی \(g(f(x))\)  را تولید می‌کند .‎‎ ترکیب دو تابع را با نماد ‎‎\(gof‎\)‎‎‏ یا \(g(f(x))\) نشان می‌دهند.

‏شکل زیر کمک شایانی به درک هر چه بهتر این مفهوم خواهد نمود:

با توجه به تعریف‏‏، مفاهیم زیر را برای ترکیب دو تابع داریم:

۱. دامنه تابع ‎gof‎‏ به صورت زیر خواهد شد:

‎\(‎‎‎‎‎‏‎D_{‎gof} =\{ ‎‎x \in D_f | f(x) \in D_g \} ‎\subset ‎X‎‎\)‎

یعنی دامنه gof متشکل از همه‌ی x های موجود در دامنه f است به شرطی که \(f(x)\) در دامنه g قرار داشته باشد. در ترکیب توابع، تشخیص و به دست آوردن دامنه نقش مهمی در درک مسأله خواهد داشت و معمولاً در امتحانات مورد توجه قرار می‌گیرد.

۲. تابع gof‎‏ با توجه به مفهوم مجموعه به صورت زیر نیز می‌تواند بیان گردد:

‎‎\(‎gof = \{ (x , gof(x)) \in D_f \times R_g | x\in D_f, f(x) \in D_g , g(f(x))\in R_g \} ‎\subset Z ‎\)‎



‎نكته: دقت کنید هرگاه در تابع \(f:X‎\rightarrow ‎Y‎\)‎ ‏‎ ‎داشته‎ باشیم ‎ \(‎Y ‎‎\subset ‎X‎\)‎‎‏( برد تابع f زیرمجموعه دامنه‌اش باشد)، در‎ اینصورت می‌توانیم تابع f را با خودشدنیز ترکیب کنیم. ترکیب تابع f ‏‎‎‎‎ ‎‏با‎ خودش با نماد ‎‎\(‎‎f^2\)‎‏ ‎نمایش‎ داده خواهد شد و داریم:

‎\(‎‎‎fof(x) =f(f(x))=f^2(x)‎\)‎‏‎

حال اگر تابع ‎‎‏f را بيش از يك بار با خودش تركيب نماييم تابع مكرر حاصل مي‌گردد و به صورت کلی زير خواهيم داشت:

‎\(‎fofof\dots f(x) =f(f(f(\dots(f(x))\dots )))= f^n(x)‎\)‎

مثال: دو تابع f‎ ‎‎‏ و g‎ را به‏ صورت زیر در نظر بگیرید. ترکیب توابع زیر و دامنه تابع ترکیبی حاصل شده را محاسبه کنید.

‎\(‎‎‎‎f(x) ‎=\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1} , g(x)= ‎\sqrt{x}‎‎‎\)‎‎‏‎

‏‏۱.\( ‎fof\)

‎‏‏۲.\( ‎fog‎\)

‎‏برای محاسبه قسمت (۱)‎‏‏،‎ کافی است ‎f(x)‎‏ را به جای مقدار x‎ ‏‎ ‎در‎ تابع ‎f(x)‎‏ قرار دهید‏. لذا داریم:

‎\(‎fof(x)= ‎f(f(x))= \frac{f(x)^‎2 + 1}{f(x)^2-1}‎= ‎‎\frac{(\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1})^2 +1}{(\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1})^2 -1}‎=\frac{‎(x^‎2 + 1)‎^‎2 + (x^2-1)^2}{‎(x^‎2 + 1)‎^‎2 - (x^2-1)^2}\)‎ ‎‎‏‎‎‎\(‎‎‎\rightarrow = ‎‎\frac{x^4 + 2x^2 + 1 + x^4 - 2x^2 + 1}{x^4 + 2x^2 + 1 - x^4 + 2x^2 -1}=‎\frac{2x^4 + 2}{4x^2}‎‎‎‎\)‎

‏در‎‎‎‎‎ نتیجه داریم:

‎‎\(‎‎fof(x) =‎\frac{2x^4 + 2}{4x^2}\)‎‎‎

‏که در آن دامنه ‎f‎of‏ ‏‎ ‎به‎ صورت زیر به دست خواهد‌ آمد:‎

‎\(‎‎D_{fof} = \{x\in R | x‎\neq 0‎ ‎\}‎ \)‎‎‎‎‎

‏در واقع عبارت بالا بیان می‌کند که دامنه تابع ‎fof‎‏ تمامی نقاطی از R‏‎‎‎‎ می‌باشند به جز نقاطی که مخرج کسر به ازای آنها صفر می‌شود. ‏اما نکته مهمی که در محاسبه دامنه ‏تابع ‎fof‎ به شکل بالا نهفته می‌باشد‏، این است که دامنه تابع ‎ fofبه صورت مجموعه‌ای به گونه زیر بیان می‌گردد:

‎\(‎‎‎‎D_{fof} = \{ x \in D_f |f(x) \in D_f\}\)‎‎

‏حال دقت کنید که عبارت \(‎‎ x \in D_f‎\) ‏‎‎ ‎بیان‎ می‌کند که عضوهایی در‎‎‎ دامنه ‎fof‎‏ واقع می‌شود که در درجه اول عضوی از دامنه تابع f‎ ‏‎ ‎باشد‏،‎ پس نیاز داریم به محاسبه دامنه تابع f‎ ‏‎ ‎هم‎ به بپردازیم:

‎‎\(‎D_f = \{ x\in R | x\neq 1 , -1 \}‎\)‎‎

‏پس با توجه به عبارت بالا دامنه تابع ‎fof‎‏ به صورت صحیح زیر خواهد بود:

‎\(‎‎D_{fof} = \{x\in R | x‎\neq 0 ,‎ 1‎ ,‎ ‎-1‎ ‎\}‎ \)‎‎‎‎‎

اکنون برای محاسبه ‎fog‎ همانند قسمت اول عمل می‌کنیم‏، کافی است که مقدار ‎g(x)‎‏ را به جای x‎‎ ‏در‎ تابع ‎f(x)‎‏ جایگذاری کنیم. لذا داریم:

‎\(‎‎‎fog(x) = f(g(x))= ‎\frac{(‎\sqrt{x}‎)^2 + 1}{(‎\sqrt{x}‎)^2 -1}= ‎\frac{x+1}{x-1}‎\)‎‏‎

‏‎‎‎ حال با توجه دامنه ‎‏‎تابع ‎g‎‏ می‌توان دامنه تابع ‎fog‎‎‎‏ را به دست آورد. می‌دانیم که دامنه تابع g‏‎‎‎ به صورت زیر خواهد بود:

‎‎\(‎D_g= \{x \in R | x \geq 0 \}‎\)‎‎

‏حال با توجه به اینکه در ضابطه تابع ‎fog‎‏ نيز به ازاي نقطه يك مخرج كسر صفر می‌شود‏، لذا دامنه تابع حاصل شده را به صورت زیر خواهیم داشت:

‎‎\(‎D_{fog}= \{x\in D_g | g(x) \in D_f \}=\{x \geq 0 | x\neq 1\}‎\)‎‎


‏تمرین ‏۱. توابع زیر را برای توابع f‎‎‎‎‏ و g‎ ‏‎ ‎بالا‎ به دست آورید.

‏۱. \(‎gog‎\)

‎‏۲. \(gof‎\)

‎‏۳.‎\(gogof‎\)

‎‏۴. ‎\(f^2 o ‎‎g^2‎\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی نهم خیلی سبز  فصل دوم حل تمرین های کتاب ریاضی نهم خیلی سبز فصل دوم بازدید (125)
حل تمرین کتاب کار ریاضی خیلی سبز پایه نه...
فضاهای توابع، درس، مساله، فراشاهی، میرزاوزیری فضاهای توابع، درس، مساله، فراشاهی، میرزاوزیری بازدید (131)
فضاهای توابع، درس، مساله، فراشاهی، میرزا...
حل تمرین کتاب کار ریاضی خیلی سبز پایه نهم فصل اول حل تمرین کتاب کار ریاضی خیلی سبز پایه نهم فصل اول بازدید (194)
حل تمرین کتاب کار ریاضی خیلی سبز پایه نه...
حل تمرین های کتاب کارپوچینو ریاضی هشتم فصل دوم حل تمرین های کتاب کارپوچینو ریاضی هشتم فصل دوم بازدید (261)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی کارپوچینو پا...
آنالیز ریاضی درس و مساله، فراشاهی، میرزاوزیری آنالیز ریاضی درس و مساله، فراشاهی، میرزاوزیری بازدید (259)
کتاب آنالیز ریاضی، درس ، مساله نوشته آرش...

فایل های تصادفی

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشهای انتگرالگیری آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشه... بازدید (3050)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشه...
حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های هندسه 3 دبیرستان 97-98 حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های ه... بازدید (3283)
حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های ه...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ری... بازدید (17586)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال 1 رشته آمار پیام نور مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال 1... بازدید (11081)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال 1...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13950918 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک صنعتی... بازدید (10220)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک دانشگ...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (37393)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (26543)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (25611)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (23858)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (23473)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا