ترکیب توابع، محاسبه دامنه به همراه مثال و تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

ترکیب ‎‏توابع:‎ فرض کنید که ‎‎\(‎f:X‎\rightarrow ‎Y‎\)‎‎‏ و ‎‎\(‎g:Y‎\rightarrow ‎Z‎\)‎‎‏ دو تابع باشند. ترکیب دو تابع f‎‎‎‎‏ و g‎ ‏‎ ‎تابعی‎ است که مقدار ‎‏‎‎\(‎‎‎x\in D_f‎\)‎‎ ‏را ‏به مقداری چون ‎\(g(f(x))‎‎\)‎ در‎‎‎ مجموعه ‎ Z‎‎‎می‌نگارد به این صورت که ابتدا تابع f روی x عمل می کند و خروجی \(f(x)\) را تولید می‌کند سپس تابع g روی مقدار بدست آمده از تابع f عمل می کند و خروجی \(g(f(x))\)  را تولید می‌کند .‎‎ ترکیب دو تابع را با نماد ‎‎\(gof‎\)‎‎‏ یا \(g(f(x))\) نشان می‌دهند.

‏شکل زیر کمک شایانی به درک هر چه بهتر این مفهوم خواهد نمود:

با توجه به تعریف‏‏، مفاهیم زیر را برای ترکیب دو تابع داریم:

۱. دامنه تابع ‎gof‎‏ به صورت زیر خواهد شد:

‎\(‎‎‎‎‎‏‎D_{‎gof} =\{ ‎‎x \in D_f | f(x) \in D_g \} ‎\subset ‎X‎‎\)‎

یعنی دامنه gof متشکل از همه‌ی x های موجود در دامنه f است به شرطی که \(f(x)\) در دامنه g قرار داشته باشد. در ترکیب توابع، تشخیص و به دست آوردن دامنه نقش مهمی در درک مسأله خواهد داشت و معمولاً در امتحانات مورد توجه قرار می‌گیرد.

۲. تابع gof‎‏ با توجه به مفهوم مجموعه به صورت زیر نیز می‌تواند بیان گردد:

‎‎\(‎gof = \{ (x , gof(x)) \in D_f \times R_g | x\in D_f, f(x) \in D_g , g(f(x))\in R_g \} ‎\subset Z ‎\)‎



‎نكته: دقت کنید هرگاه در تابع \(f:X‎\rightarrow ‎Y‎\)‎ ‏‎ ‎داشته‎ باشیم ‎ \(‎Y ‎‎\subset ‎X‎\)‎‎‏( برد تابع f زیرمجموعه دامنه‌اش باشد)، در‎ اینصورت می‌توانیم تابع f را با خودشدنیز ترکیب کنیم. ترکیب تابع f ‏‎‎‎‎ ‎‏با‎ خودش با نماد ‎‎\(‎‎f^2\)‎‏ ‎نمایش‎ داده خواهد شد و داریم:

‎\(‎‎‎fof(x) =f(f(x))=f^2(x)‎\)‎‏‎

حال اگر تابع ‎‎‏f را بيش از يك بار با خودش تركيب نماييم تابع مكرر حاصل مي‌گردد و به صورت کلی زير خواهيم داشت:

‎\(‎fofof\dots f(x) =f(f(f(\dots(f(x))\dots )))= f^n(x)‎\)‎

مثال: دو تابع f‎ ‎‎‏ و g‎ را به‏ صورت زیر در نظر بگیرید. ترکیب توابع زیر و دامنه تابع ترکیبی حاصل شده را محاسبه کنید.

‎\(‎‎‎‎f(x) ‎=\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1} , g(x)= ‎\sqrt{x}‎‎‎\)‎‎‏‎

‏‏۱.\( ‎fof\)

‎‏‏۲.\( ‎fog‎\)

‎‏برای محاسبه قسمت (۱)‎‏‏،‎ کافی است ‎f(x)‎‏ را به جای مقدار x‎ ‏‎ ‎در‎ تابع ‎f(x)‎‏ قرار دهید‏. لذا داریم:

‎\(‎fof(x)= ‎f(f(x))= \frac{f(x)^‎2 + 1}{f(x)^2-1}‎= ‎‎\frac{(\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1})^2 +1}{(\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1})^2 -1}‎=\frac{‎(x^‎2 + 1)‎^‎2 + (x^2-1)^2}{‎(x^‎2 + 1)‎^‎2 - (x^2-1)^2}\)‎ ‎‎‏‎‎‎\(‎‎‎\rightarrow = ‎‎\frac{x^4 + 2x^2 + 1 + x^4 - 2x^2 + 1}{x^4 + 2x^2 + 1 - x^4 + 2x^2 -1}=‎\frac{2x^4 + 2}{4x^2}‎‎‎‎\)‎

‏در‎‎‎‎‎ نتیجه داریم:

‎‎\(‎‎fof(x) =‎\frac{2x^4 + 2}{4x^2}\)‎‎‎

‏که در آن دامنه ‎f‎of‏ ‏‎ ‎به‎ صورت زیر به دست خواهد‌ آمد:‎

‎\(‎‎D_{fof} = \{x\in R | x‎\neq 0‎ ‎\}‎ \)‎‎‎‎‎

‏در واقع عبارت بالا بیان می‌کند که دامنه تابع ‎fof‎‏ تمامی نقاطی از R‏‎‎‎‎ می‌باشند به جز نقاطی که مخرج کسر به ازای آنها صفر می‌شود. ‏اما نکته مهمی که در محاسبه دامنه ‏تابع ‎fof‎ به شکل بالا نهفته می‌باشد‏، این است که دامنه تابع ‎ fofبه صورت مجموعه‌ای به گونه زیر بیان می‌گردد:

‎\(‎‎‎‎D_{fof} = \{ x \in D_f |f(x) \in D_f\}\)‎‎

‏حال دقت کنید که عبارت \(‎‎ x \in D_f‎\) ‏‎‎ ‎بیان‎ می‌کند که عضوهایی در‎‎‎ دامنه ‎fof‎‏ واقع می‌شود که در درجه اول عضوی از دامنه تابع f‎ ‏‎ ‎باشد‏،‎ پس نیاز داریم به محاسبه دامنه تابع f‎ ‏‎ ‎هم‎ به بپردازیم:

‎‎\(‎D_f = \{ x\in R | x\neq 1 , -1 \}‎\)‎‎

‏پس با توجه به عبارت بالا دامنه تابع ‎fof‎‏ به صورت صحیح زیر خواهد بود:

‎\(‎‎D_{fof} = \{x\in R | x‎\neq 0 ,‎ 1‎ ,‎ ‎-1‎ ‎\}‎ \)‎‎‎‎‎

اکنون برای محاسبه ‎fog‎ همانند قسمت اول عمل می‌کنیم‏، کافی است که مقدار ‎g(x)‎‏ را به جای x‎‎ ‏در‎ تابع ‎f(x)‎‏ جایگذاری کنیم. لذا داریم:

‎\(‎‎‎fog(x) = f(g(x))= ‎\frac{(‎\sqrt{x}‎)^2 + 1}{(‎\sqrt{x}‎)^2 -1}= ‎\frac{x+1}{x-1}‎\)‎‏‎

‏‎‎‎ حال با توجه دامنه ‎‏‎تابع ‎g‎‏ می‌توان دامنه تابع ‎fog‎‎‎‏ را به دست آورد. می‌دانیم که دامنه تابع g‏‎‎‎ به صورت زیر خواهد بود:

‎‎\(‎D_g= \{x \in R | x \geq 0 \}‎\)‎‎

‏حال با توجه به اینکه در ضابطه تابع ‎fog‎‏ نيز به ازاي نقطه يك مخرج كسر صفر می‌شود‏، لذا دامنه تابع حاصل شده را به صورت زیر خواهیم داشت:

‎‎\(‎D_{fog}= \{x\in D_g | g(x) \in D_f \}=\{x \geq 0 | x\neq 1\}‎\)‎‎


‏تمرین ‏۱. توابع زیر را برای توابع f‎‎‎‎‏ و g‎ ‏‎ ‎بالا‎ به دست آورید.

‏۱. \(‎gog‎\)

‎‏۲. \(gof‎\)

‎‏۳.‎\(gogof‎\)

‎‏۴. ‎\(f^2 o ‎‎g^2‎\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی بازدید (254)
کتاب راهنما و حل المسائل معادلات دیفرانس...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1539)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (1460)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (1572)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1558)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی میانترم آنالیز ریاضی 1 دانشگاه شاهرود استاد موسوی 13910212 پاسخ تشریحی میانترم آنالیز ریاضی 1 دانشگ... بازدید (7163)
پاسخ تشریحی میانترم آنالیز ریاضی 1 دانشگ...
حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های هندسه 3 دبیرستان 97-98 حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های ه... بازدید (2681)
حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های ه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سب... بازدید (1079)
حل تمرین های فصل هشتم کتاب کار ریاضی پای...
جزوه سری های فوریه - استاد برزور جزوه سری های فوریه - استاد برزور... بازدید (6660)
جزوه دست نویس سری های فوریه با مثال های ...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا... بازدید (2470)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (33726)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (25150)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (24243)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22466)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (22105)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا