ترکیب توابع، محاسبه دامنه به همراه مثال و تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

ترکیب ‎‏توابع:‎ فرض کنید که ‎‎\(‎f:X‎\rightarrow ‎Y‎\)‎‎‏ و ‎‎\(‎g:Y‎\rightarrow ‎Z‎\)‎‎‏ دو تابع باشند. ترکیب دو تابع f‎‎‎‎‏ و g‎ ‏‎ ‎تابعی‎ است که مقدار ‎‏‎‎\(‎‎‎x\in D_f‎\)‎‎ ‏را ‏به مقداری چون ‎\(g(f(x))‎‎\)‎ در‎‎‎ مجموعه ‎ Z‎‎‎می‌نگارد به این صورت که ابتدا تابع f روی x عمل می کند و خروجی \(f(x)\) را تولید می‌کند سپس تابع g روی مقدار بدست آمده از تابع f عمل می کند و خروجی \(g(f(x))\)  را تولید می‌کند .‎‎ ترکیب دو تابع را با نماد ‎‎\(gof‎\)‎‎‏ یا \(g(f(x))\) نشان می‌دهند.

‏شکل زیر کمک شایانی به درک هر چه بهتر این مفهوم خواهد نمود:

با توجه به تعریف‏‏، مفاهیم زیر را برای ترکیب دو تابع داریم:

۱. دامنه تابع ‎gof‎‏ به صورت زیر خواهد شد:

‎\(‎‎‎‎‎‏‎D_{‎gof} =\{ ‎‎x \in D_f | f(x) \in D_g \} ‎\subset ‎X‎‎\)‎

یعنی دامنه gof متشکل از همه‌ی x های موجود در دامنه f است به شرطی که \(f(x)\) در دامنه g قرار داشته باشد. در ترکیب توابع، تشخیص و به دست آوردن دامنه نقش مهمی در درک مسأله خواهد داشت و معمولاً در امتحانات مورد توجه قرار می‌گیرد.

۲. تابع gof‎‏ با توجه به مفهوم مجموعه به صورت زیر نیز می‌تواند بیان گردد:

‎‎\(‎gof = \{ (x , gof(x)) \in D_f \times R_g | x\in D_f, f(x) \in D_g , g(f(x))\in R_g \} ‎\subset Z ‎\)‎



‎نكته: دقت کنید هرگاه در تابع \(f:X‎\rightarrow ‎Y‎\)‎ ‏‎ ‎داشته‎ باشیم ‎ \(‎Y ‎‎\subset ‎X‎\)‎‎‏( برد تابع f زیرمجموعه دامنه‌اش باشد)، در‎ اینصورت می‌توانیم تابع f را با خودشدنیز ترکیب کنیم. ترکیب تابع f ‏‎‎‎‎ ‎‏با‎ خودش با نماد ‎‎\(‎‎f^2\)‎‏ ‎نمایش‎ داده خواهد شد و داریم:

‎\(‎‎‎fof(x) =f(f(x))=f^2(x)‎\)‎‏‎

حال اگر تابع ‎‎‏f را بيش از يك بار با خودش تركيب نماييم تابع مكرر حاصل مي‌گردد و به صورت کلی زير خواهيم داشت:

‎\(‎fofof\dots f(x) =f(f(f(\dots(f(x))\dots )))= f^n(x)‎\)‎

مثال: دو تابع f‎ ‎‎‏ و g‎ را به‏ صورت زیر در نظر بگیرید. ترکیب توابع زیر و دامنه تابع ترکیبی حاصل شده را محاسبه کنید.

‎\(‎‎‎‎f(x) ‎=\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1} , g(x)= ‎\sqrt{x}‎‎‎\)‎‎‏‎

‏‏۱.\( ‎fof\)

‎‏‏۲.\( ‎fog‎\)

‎‏برای محاسبه قسمت (۱)‎‏‏،‎ کافی است ‎f(x)‎‏ را به جای مقدار x‎ ‏‎ ‎در‎ تابع ‎f(x)‎‏ قرار دهید‏. لذا داریم:

‎\(‎fof(x)= ‎f(f(x))= \frac{f(x)^‎2 + 1}{f(x)^2-1}‎= ‎‎\frac{(\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1})^2 +1}{(\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1})^2 -1}‎=\frac{‎(x^‎2 + 1)‎^‎2 + (x^2-1)^2}{‎(x^‎2 + 1)‎^‎2 - (x^2-1)^2}\)‎ ‎‎‏‎‎‎\(‎‎‎\rightarrow = ‎‎\frac{x^4 + 2x^2 + 1 + x^4 - 2x^2 + 1}{x^4 + 2x^2 + 1 - x^4 + 2x^2 -1}=‎\frac{2x^4 + 2}{4x^2}‎‎‎‎\)‎

‏در‎‎‎‎‎ نتیجه داریم:

‎‎\(‎‎fof(x) =‎\frac{2x^4 + 2}{4x^2}\)‎‎‎

‏که در آن دامنه ‎f‎of‏ ‏‎ ‎به‎ صورت زیر به دست خواهد‌ آمد:‎

‎\(‎‎D_{fof} = \{x\in R | x‎\neq 0‎ ‎\}‎ \)‎‎‎‎‎

‏در واقع عبارت بالا بیان می‌کند که دامنه تابع ‎fof‎‏ تمامی نقاطی از R‏‎‎‎‎ می‌باشند به جز نقاطی که مخرج کسر به ازای آنها صفر می‌شود. ‏اما نکته مهمی که در محاسبه دامنه ‏تابع ‎fof‎ به شکل بالا نهفته می‌باشد‏، این است که دامنه تابع ‎ fofبه صورت مجموعه‌ای به گونه زیر بیان می‌گردد:

‎\(‎‎‎‎D_{fof} = \{ x \in D_f |f(x) \in D_f\}\)‎‎

‏حال دقت کنید که عبارت \(‎‎ x \in D_f‎\) ‏‎‎ ‎بیان‎ می‌کند که عضوهایی در‎‎‎ دامنه ‎fof‎‏ واقع می‌شود که در درجه اول عضوی از دامنه تابع f‎ ‏‎ ‎باشد‏،‎ پس نیاز داریم به محاسبه دامنه تابع f‎ ‏‎ ‎هم‎ به بپردازیم:

‎‎\(‎D_f = \{ x\in R | x\neq 1 , -1 \}‎\)‎‎

‏پس با توجه به عبارت بالا دامنه تابع ‎fof‎‏ به صورت صحیح زیر خواهد بود:

‎\(‎‎D_{fof} = \{x\in R | x‎\neq 0 ,‎ 1‎ ,‎ ‎-1‎ ‎\}‎ \)‎‎‎‎‎

اکنون برای محاسبه ‎fog‎ همانند قسمت اول عمل می‌کنیم‏، کافی است که مقدار ‎g(x)‎‏ را به جای x‎‎ ‏در‎ تابع ‎f(x)‎‏ جایگذاری کنیم. لذا داریم:

‎\(‎‎‎fog(x) = f(g(x))= ‎\frac{(‎\sqrt{x}‎)^2 + 1}{(‎\sqrt{x}‎)^2 -1}= ‎\frac{x+1}{x-1}‎\)‎‏‎

‏‎‎‎ حال با توجه دامنه ‎‏‎تابع ‎g‎‏ می‌توان دامنه تابع ‎fog‎‎‎‏ را به دست آورد. می‌دانیم که دامنه تابع g‏‎‎‎ به صورت زیر خواهد بود:

‎‎\(‎D_g= \{x \in R | x \geq 0 \}‎\)‎‎

‏حال با توجه به اینکه در ضابطه تابع ‎fog‎‏ نيز به ازاي نقطه يك مخرج كسر صفر می‌شود‏، لذا دامنه تابع حاصل شده را به صورت زیر خواهیم داشت:

‎‎\(‎D_{fog}= \{x\in D_g | g(x) \in D_f \}=\{x \geq 0 | x\neq 1\}‎\)‎‎


‏تمرین ‏۱. توابع زیر را برای توابع f‎‎‎‎‏ و g‎ ‏‎ ‎بالا‎ به دست آورید.

‏۱. \(‎gog‎\)

‎‏۲. \(gof‎\)

‎‏۳.‎\(gogof‎\)

‎‏۴. ‎\(f^2 o ‎‎g^2‎\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی بازدید (190)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره بازدید (244)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (729)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (617)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (884)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...

فایل های تصادفی

جزوه آنالیز تابعی مقدماتی دکتر صال مصلحیان دانشگاه فردوسی مشهد 1396 جزوه آنالیز تابعی مقدماتی دکتر صال مصلحی... بازدید (2589)
جزوه آنالیز تابعی مقدماتی دکتر صال مصلحی...
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی مهندسی صنعتی امیرکبیر 13921026 پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی مهندسی صنعتی... بازدید (9352)
سوالات ریاضی مهندسی همراه با پاسخ تشریحی...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگ... بازدید (244)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...
کتاب استقرا گام های پیاپی دکتر میرزاوزیری کتاب استقرا گام های پیاپی دکتر میرزاوزیر... بازدید (1166)
کتاب استقرا گام های پیاپی دکتر میرزاوزیر...
مقدمه و فهرست مطالب تحقیق در عملیات 1 پیام نور مقدمه و فهرست مطالب تحقیق در عملیات 1 پی... بازدید (9051)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب تحقیق در عملیات...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (28892)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22122)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (21151)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (19410)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (19050)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا